⚖️ Equilibri de forces en cables
Enunciat general: Un treballador utilitza un sistema de cordes per mantenir una caixa en equilibri.
En el primer apartat es determina el pes de la caixa a la Terra. En el segon apartat es calcula la força que ha de fer el treballador a la Lluna per sostenir la mateixa caixa.
Totes les dades s’expressen en unitats del SI (kg, N, m/s²).
🔹 Apartat (a) – Pes de la caixa a la Terra
Dades: El treballador exerceix una força de 88.96 N sobre la corda.
Angles: 30° respecte a l’horitzontal per la força aplicada, i 5° per la tensió de la corda que va a la caixa respecte a la vertical.
Es demana el pes \(W\) de la caixa en newtons i la seva massa en quilograms.
📐 Diagrama de cos lliure – Apartat (a)
📐 Solució pas a pas (Mètode de descomposició)
1 Forces en el nus
Al nus concorren:
- \(F_a = 88.96\,\text{N}\) – força del treballador, amb angle 30° per sobre de l’horitzontal.
- \(T\) – tensió de la corda cap a la caixa, amb angle 5° respecte a la vertical.
- \(W\) – pes de la caixa (vertical cap avall).
2 Equilibri horitzontal (\(x\))
\[
\sum F_x = F_a \cos 30^\circ - T \sin 5^\circ = 0
\]
3 Equilibri vertical (\(y\))
\[
\sum F_y = F_a \sin 30^\circ + T \cos 5^\circ - W = 0
\]
4 Resolució numèrica
De l’horitzontal aïllem \(T\):
\[
T = \frac{F_a \cos 30^\circ}{\sin 5^\circ} = \frac{88.96 \times 0.8660}{0.08716} \approx 884.1\,\text{N}
\]
Substituïm a la vertical per trobar \(W\):
\[
W = F_a \sin 30^\circ + T \cos 5^\circ = 88.96 \times 0.5 + 884.1 \times 0.9962 \approx 44.48 + 880.7 \approx 925.2\,\text{N}
\]
La massa de la caixa (\(g = 9.81\,\text{m/s}^2\)):
\[
m = \frac{W}{g} = \frac{925.2}{9.81} \approx 94.3\,\text{kg}
\]
💡 Mètode alternatiu: Teorema de Lami
Quan és millor utilitzar-lo? Quan tenim exactament tres forces concurrents en equilibri. Ens estalvia haver de muntar i resoldre sistemes d'equacions. Només necessitem calcular els angles que formen les forces entre elles.
1 Càlcul dels angles entre forces
El teorema ens demana els angles directes entre les tres forces (\(F_a\), \(T\) i \(W\)):
- Entre \(F_a\) i \(W\) (\(\beta\)): \(F_a\) puja 30° respecte l'horitzontal i \(W\) va directe cap avall (90° respecte l'horitzontal). Angle = \(30^\circ + 90^\circ = 120^\circ\).
- Entre \(F_a\) i \(T\) (\(\gamma\)): Entre la vertical i l'horitzontal hi ha 90°. \(T\) està a 5° de la vertical esquerra i \(F_a\) a 30° de l'horitzontal dreta. Angle = \(90^\circ - 30^\circ + 5^\circ = 65^\circ\).
- Entre \(T\) i \(W\) (\(\alpha\)): \(T\) està a 5° de la vertical i \(W\) actua a la vertical inferior (180° de diferència en línia recta). Angle = \(180^\circ - 5^\circ = 175^\circ\).
Comprovació: \(120^\circ + 65^\circ + 175^\circ = 360^\circ\) ✅
2 Aplicació de la fórmula
El Teorema de Lami estableix que cada força és proporcional al sinus de l'angle oposat:
\[
\frac{F_a}{\sin \alpha} = \frac{T}{\sin \beta} = \frac{W}{\sin \gamma} \implies \frac{88.96}{\sin 175^\circ} = \frac{T}{\sin 120^\circ} = \frac{W}{\sin 65^\circ}
\]
3 Resolució directa
Ara podem trobar qualsevol valor ràpidament sense substituir en altres equacions:
\[
T = 88.96 \cdot \frac{\sin 120^\circ}{\sin 175^\circ} = 88.96 \cdot \frac{0.8660}{0.08715} \approx 884.1\,\text{N}
\]
\[
W = 88.96 \cdot \frac{\sin 65^\circ}{\sin 175^\circ} = 88.96 \cdot \frac{0.9063}{0.08715} \approx 925.2\,\text{N}
\]
Com es pot veure, obtenim exactament els mateixos resultats d'una manera molt més directa.
✅ Resultat apartat (a)
\( W = 925.2\,\text{N} \) | \( m = 94.3\,\text{kg} \)
Aquest és el pes i la massa de la caixa a la Terra.
🌙 Apartat (b) – Força necessària a la Lluna
Dades: El treballador es troba a la Lluna, on \(g_m = 1.62\,\text{m/s}^2\).
La caixa és la mateixa (massa \(m = 94.3\,\text{kg}\)).
Es demana la força \(F\) que ha de fer sobre la corda per mantenir la caixa en equilibri.
📐 Diagrama de cos lliure – Apartat (b)
📐 Solució pas a pas
1 Pes a la Lluna
El pes de la caixa a la Lluna és:
\[
W_m = m \cdot g_m = 94.3 \times 1.62 = 152.8\,\text{N}
\]
2 Forces al nus
Ara al nus actuen:
- \(F\) – força exercida pel treballador (angle 30° per sota de l’horitzontal).
- \(T\) – tensió de la corda cap a la caixa (angle 5° respecte a la vertical superior).
- \(W_m\) – pes de la caixa a la Lluna (vertical cap avall).
3 Equacions d’equilibri
Horitzontal:
\[
\sum F_x = F \cos 30^\circ - T \sin 5^\circ = 0
\]
Vertical:
\[
\sum F_y = -F \sin 30^\circ + T \cos 5^\circ - W_m = 0
\]
4 Resolució del sistema
De l’horitzontal: \( T = \dfrac{F \cos 30^\circ}{\sin 5^\circ} \).
Substituïm a la vertical:
\[
-F \sin 30^\circ + \frac{F \cos 30^\circ}{\sin 5^\circ} \cos 5^\circ - W_m = 0
\]
Factoritzem \(F\):
\[
F \left( -0.5 + \frac{0.8660 \cdot 0.9962}{0.08716} \right) = W_m
\]
El parèntesi val \( -0.5 + 9.90 \approx 9.40 \).
Per tant:
\[
F = \frac{W_m}{9.40} = \frac{152.8}{9.40} \approx 16.3\,\text{N}
\]
✅ Resultat apartat (b)
\( F = 16.3\,\text{N} \)
Aquesta és la força que el treballador ha de fer a la Lluna.