Estàtica: Càlcul de Tensions i Geometria en un Cable

📌 Enunciat del Problema

Determineu la tensió a cada segment del cable ($AB$, $BC$ i $CD$) representat a la Figura (a). Així mateix, trobeu la dimensió del despenjament vertical $h$.

Dades inicials extretes de la Figura (a):

Càrregues verticals aplicades: $3\text{ kN}$ al node $B$ i $8\text{ kN}$ al node $C$.
Distàncies horitzontals entre nodes: $x_{AB} = 2\text{ m}$, $x_{BC} = 2\text{ m}$, $x_{CD} = 1.5\text{ m}$ (Distància horitzontal total $A \to D = 5.5\text{ m}$).
Desnivell vertical conegut: El suport $D$ es troba $2\text{ m}$ per sota del nivell del suport $A$.
Pendent del segment $CD$: Ve donat per la relació d'un triangle rectangle de costats $3-4-5$ (vegeu la Figura b).

Pas 1: Equilibri Global i Tensió al Segment CD

Observem la Figura (b), on es mostra el Diagrama de Cos Lliure (DCL) de tot el cable substituint el segment $CD$ per la seva força de tensió $T_{CD}$ dirigida segons el triangle de pendent $3-4-5$:

Component horitzontal de la tensió: $T_{CD,x} = T_{CD} \cdot \left(\frac{3}{5}\right)$
Component vertical de la tensió: $T_{CD,y} = T_{CD} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)$

Apliquem l'equació d'equilibri de moments respecte al suport $A$ ($\sum M_A = 0$) per eliminar les reaccions desconegudes $A_x$ i $A_y$ (prenent el sentit horari com a moment positiu):

$$\sum M_A = 0$$ $$T_{CD}\left(\frac{3}{5}\right)(2\text{ m}) + T_{CD}\left(\frac{4}{5}\right)(5.5\text{ m}) - 3\text{ kN}(2\text{ m}) - 8\text{ kN}(4\text{ m}) = 0$$ $$T_{CD}(1.2) + T_{CD}(4.4) - 6 - 32 = 0$$ $$5.6 \cdot T_{CD} = 38$$ $$T_{CD} = \frac{38}{5.6} = \mathbf{6.79\text{ kN}}$$

Pas 2: Equilibri al Node C (Tensió BC)

Analitzem el Diagrama de Cos Lliure del node $C$ mostrat a la Figura (c). En aquest punt actuen tres forces: la tensió $T_{CD} = 6.79\text{ kN}$, la càrrega vertical cap a baix de $8\text{ kN}$ i la tensió del segment $T_{BC}$ que forma un angle $\theta_{BC}$ respecte a l'horitzontal.

1. Sumatòria de forces horitzontals ($\sum F_x = 0$):

$$6.79 \cdot \left(\frac{3}{5}\right) - T_{BC} \cos\theta_{BC} = 0$$ $$T_{BC} \cos\theta_{BC} = 4.074\text{ kN} \quad \text{--- (Eq. 1)}$$

2. Sumatòria de forces verticals ($\sum F_y = 0$):

$$6.79 \cdot \left(\frac{4}{5}\right) - 8 + T_{BC} \sin\theta_{BC} = 0$$ $$5.432 - 8 + T_{BC} \sin\theta_{BC} = 0$$ $$T_{BC} \sin\theta_{BC} = 2.568\text{ kN} \quad \text{--- (Eq. 2)}$$

3. Càlcul de l'angle $\theta_{BC}$ i la tensió $T_{BC}$:

Dividint l'Eq. 2 entre l'Eq. 1 obtenim la tangent de l'angle:

$$\tan\theta_{BC} = \frac{2.568}{4.074} = 0.6303 \implies \theta_{BC} = \arctan(0.6303) = \mathbf{32.3^\circ}$$ $$T_{BC} = \frac{4.074}{\cos 32.3^\circ} = \mathbf{4.82\text{ kN}}$$

Pas 3: Equilibri al Node B (Tensió BA)

Passem a analitzar el Diagrama de Cos Lliure del node $B$, il·lustrat a la Figura (d). Hi actuen la tensió ja coneguda $T_{BC} = 4.82\text{ kN}$ (a $32.3^\circ$), la càrrega vertical cap a baix de $3\text{ kN}$ i la tensió del segment $T_{BA}$ a un angle $\theta_{BA}$ amb l'horitzontal.

1. Sumatòria de forces horitzontals ($\sum F_x = 0$):

$$-T_{BA} \cos\theta_{BA} + 4.82 \cos 32.3^\circ = 0$$ $$T_{BA} \cos\theta_{BA} = 4.074\text{ kN} \quad \text{--- (Eq. 3)}$$

2. Sumatòria de forces verticals ($\sum F_y = 0$):

$$T_{BA} \sin\theta_{BA} - 4.82 \sin 32.3^\circ - 3 = 0$$ $$T_{BA} \sin\theta_{BA} - 2.568 - 3 = 0$$ $$T_{BA} \sin\theta_{BA} = 5.568\text{ kN} \quad \text{--- (Eq. 4)}$$

3. Càlcul de l'angle $\theta_{BA}$ i la tensió $T_{BA}$:

$$\tan\theta_{BA} = \frac{5.568}{4.074} = 1.3667 \implies \theta_{BA} = \arctan(1.3667) = \mathbf{53.8^\circ}$$ $$T_{BA} = \sqrt{(4.074)^2 + (5.568)^2} = \mathbf{6.90\text{ kN}}$$

Pas 4: Càlcul del Despenjament Vertical $h$

Una vegada coneguda l'orientació del primer tram del cable (segment $AB$), podem utilitzar la trigonometria del triangle rectangle que es forma entre el suport $A$ i el node $B$ (vegeu la Figura a i la Figura d):

La distància horitzontal entre $A$ i $B$ és $x_{AB} = 2\text{ m}$ i l'angle d'inclinació cap a baix és $\theta_{BA} = 53.8^\circ$:

$$h = (2\text{ m}) \cdot \tan(53.8^\circ) = 2 \cdot 1.3667 = \mathbf{2.74\text{ m}}$$

🏆 Resum dels Resultats Finals

A continuació es sintetitzen tots els valors calculats per a les tensions dels tres trams del cable i la dimensió $h$ sol·licitada:

Paràmetre	Valor Calculat	Inclinació / Descripció
Tensió $T_{CD}$	$6.79\text{ kN}$	Pendent de relació $3-4-5$ (Figura b)
Tensió $T_{BC}$	$4.82\text{ kN}$	Angle respecte a l'horitzontal $\theta_{BC} = 32.3^\circ$ (Figura c)
Tensió $T_{BA}$	$6.90\text{ kN}$	Angle respecte a l'horitzontal $\theta_{BA} = 53.8^\circ$ (Figura d)
Despenjament $h$	$2.74\text{ m}$	Distància vertical del node $B$ respecte al suport $A$ (Figura a)