Un camió grua es troba estacionat sobre una superfície plana i horitzontal. El pes dels diferents components del camió (xassís, motor, grua, etc.) es pot simplificar en tres càrregues puntuals que actuen verticalment cap avall. Les magnituds d'aquestes forces i les seves distàncies, segons el Sistema Internacional (SI), són les següents:
La distància horitzontal entre la Força 2 i la roda davantera (Punt A) és de 1.83 m.
Es demana:
a) Calcular la força resultant total que exerceix el camió sobre el terra i determinar a quina distància del punt B (roda posterior) es troba el seu centre d'acció.
b) Determinar les forces de reacció que el terra ha d'exercir sobre l'eix davanter (Punt A) i l'eix posterior (Punt B) per mantenir el camió en equilibri estàtic.
Per resoldre aquest apartat, primer trobarem la suma de totes les forces i després calcularem el moment que generen respecte al punt B per trobar on actuaria una única força equivalent.
Pas 1: Establir un sistema de coordenades i distàncies absolutes.
Fixarem l'origen de coordenades ($x=0$) al punt B (roda posterior). Totes les distàncies es mesuraran des d'aquí cap a la dreta:
| Punt d'aplicació | Càlcul de la posició (x) | Distància des de B ($x_i$) | Força ($F_i$) |
|---|---|---|---|
| $F_1$ | 0.91 m | $x_1 = 0.91 \text{ m}$ | $15.6 \text{ kN}$ |
| $F_2$ | 0.91 + 4.27 | $x_2 = 5.18 \text{ m}$ | $24.5 \text{ kN}$ |
| Punt A (Roda davantera) | 5.18 + 1.83 | $x_A = 7.01 \text{ m}$ | - |
| $F_3$ | 7.01 + 0.61 | $x_3 = 7.62 \text{ m}$ | $7.78 \text{ kN}$ |
Pas 2: Calcular la Força Resultant ($R$).
Com que totes les forces actuen en la mateixa direcció (vertical cap avall, eix -y), sumem les seves magnituds:
Aquesta és la força total que el camió fa sobre el terra (cap avall).
Pas 3: Calcular el Moment Resultant respecte a B ($M_B$).
El moment és el producte de la força per la seva distància perpendicular al punt de rotació. Assumint el sentit horari com a positiu per al càlcul de bolcada cap endavant:
Pas 4: Calcular la posició de la resultant ($\bar{x}$).
La posició on hauria d'actuar la força $R$ per generar el mateix moment $M_B$ es troba dividint el moment total per la força resultant:
Resposta a): La força resultant és de 47.88 kN (cap avall) i el seu centre d'acció es troba a 4.185 m a la dreta de la roda posterior (Punt B).
Perquè el camió estigui en equilibri estàtic, no s'ha de moure ni cap amunt ni cap avall, i tampoc ha de rotar. Les reaccions de terra, que anomenarem $R_A$ (eix davanter) i $R_B$ (eix posterior), empenyen cap amunt per contrarestar el pes.
Pas 1: Aplicar l'equació d'equilibri de moments ($\sum M = 0$).
Si fem el sumatori de moments respecte al punt B i l'igualem a zero, la reacció $R_B$ no genera moment (distància zero), permetent-nos aïllar $R_A$. Les forces del camió fan girar en sentit horari (-), i $R_A$ fa girar en sentit antihorari (+):
Pas 2: Aplicar l'equació d'equilibri de forces verticals ($\sum F_y = 0$).
Les forces que pugen ($R_A$ i $R_B$) han de ser iguals a les forces que baixen (Resultant $R$ calculada a l'apartat A):
Pas 3: Comprovació (Opcional però recomanat).
Podem verificar els resultats fent el sumatori de moments respecte al punt A ($\sum M_A = 0$).
Resposta b): Les reaccions del terra són $R_A = 28.59 \text{ kN}$ sobre l'eix davanter i $R_B = 19.29 \text{ kN}$ sobre l'eix posterior.