Anàlisi Estàtica: Braç Telescòpic

Enunciat del Problema:

Un braç telescòpic $ABC$ proporciona una plataforma elevada per a operaris. La massa conjunta de la plataforma i els treballadors és de $200 \text{ kg}$, amb el centre de gravetat situat directament sobre l'extrem $C$. L'accionament es realitza mitjançant un únic cilindre hidràulic $BD$.

Es demana determinar la força al cilindre $BD$ i la reacció a l'articulació de suport $A$ per a dues posicions:

Cas A: Posició de treball elevada ($\theta = 20^\circ$).
Cas B: Posició d'accés propera al terra ($\theta = -20^\circ$).

1. Consideracions Prèvies i Dades Comunes

Càrrega constant de disseny ($W$)

Independenment de l'orientació del braç, la càrrega vertical a l'extrem $curses$ es calcula amb l'acceleració de la gravetat $g = 9.81 \text{ m/s}^2$:

$$W = m \cdot g = (200 \text{ kg})(9.81 \text{ m/s}^2) = 1962 \text{ N} = 1.962 \text{ kN}$$

Modelització del cilindre hidràulic BD

En estar articulat exclusivament als seus extrems i no rebre càrregues intermèdies, el cilindre $BD$ actua com un element sotmès a dues forces. Per tant, la línia d'acció de $F_{BD}$ és completament colineal amb l'eix geomètric $BD$.

2. Cas A: Braç Elevat ($\theta = 20^\circ$)

Geometria de la posició

Prenent $A(0,0)$ com a origen, determinem les coordenades i distàncies relatives:

Distància horitzontal $A \to C$: $a = (5) \cos 20^\circ = 4.6985 \text{ m}$
Distància horitzontal $A \to B$: $b = (2.4) \cos 20^\circ = 2.2553 \text{ m}$
Alçada vertical $A \to B$: $c = (2.4) \sin 20^\circ = 0.8208 \text{ m}$
Distàncies auxiliars del cilindre: $d = b - 0.5 = 1.7553 \text{ m}$, $e = c + 0.9 = 1.7208 \text{ m}$

Angle d'inclinació del cilindre $\beta$:

$$\tan \beta = \frac{1.7208}{1.7553} \implies \beta = 44.43^\circ$$

Equilibri de moments respecte a A ($\Sigma M_A = 0$)

$$+\circlearrowleft \Sigma M_A = 0: \quad (1.962)(4.6985) - F_{BD} \sin(44.43^\circ)(2.2553) + F_{BD} \cos(44.43^\circ)(0.8208) = 0$$ $$9.2185 - F_{BD}(0.9927) = 0 \implies F_{BD} = 9.2867 \text{ kN}$$

(1) Força al cilindre BD: $F_{BD} = 9.29 \text{ kN} \searrow 44.4^\circ$ (Compressió)

Equilibri de forces a l'articulació A

Eix X ($\Sigma F_x = 0$):

$$A_x = F_{BD} \cos \beta = (9.2867) \cos(44.43^\circ) = 6.632 \text{ kN} \rightarrow$$

Eix Y ($\Sigma F_y = 0$):

$$A_y = 1.962 - F_{BD} \sin \beta = 1.962 - (9.2867) \sin(44.43^\circ) = -4.539 \text{ kN} \downarrow$$

Magnitud i direcció de la reacció total:

$$A = \sqrt{(6.632)^2 + (-4.539)^2} = 8.04 \text{ kN}, \quad \theta_A = 34.4^\circ$$

(2) Reacció total a A: $\mathbf{A} = 8.04 \text{ kN} \searrow 34.4^\circ$

3. Cas B: Braç Baixat ($\theta = -20^\circ$)

Geometria de la posició invertida

Amb $\theta = -20^\circ$, el punt $B$ descendeix per sota de l'origen $A$. Les dimensions base es mantenen, però varia la cota vertical del cilindre:

$a = 4.6985 \text{ m}$, $b = 2.2553 \text{ m}$, $c = 0.8208 \text{ m}$
$d = 1.7553 \text{ m}$, $e = 0.9 - c = 0.9 - 0.8208 = 0.0792 \text{ m}$

Nou angle del cilindre $\beta$:

$$\tan \beta = \frac{0.0792}{1.7553} \implies \beta = 2.584^\circ$$

Equilibri de moments respecte a A ($\Sigma M_A = 0$)

$$+\circlearrowleft \Sigma M_A = 0: \quad (1.962)(4.6985) - F_{BD} \sin(2.584^\circ)(2.2553) - F_{BD} \cos(2.584^\circ)(0.8208) = 0$$ $$9.2185 - F_{BD}(0.9216) = 0 \implies F_{BD} = 10.003 \text{ kN}$$

(1) Força al cilindre BD: $F_{BD} = 10.00 \text{ kN} \searrow 2.58^\circ$ (Compressió)

Equilibri de forces a l'articulació A

Eix X ($\Sigma F_x = 0$):

$$A_x = (10.003) \cos(2.584^\circ) = 9.993 \text{ kN} \rightarrow$$

Eix Y ($\Sigma F_y = 0$):

$$A_y = 1.962 - (10.003) \sin(2.584^\circ) = 1.962 - 0.451 = +1.511 \text{ kN} \uparrow$$

Nota Tècnica: En comparació amb algun solucionari imprès que arrossega un error d'aritmètica de signe (donant $-1.511 \text{ kN}$), el càlcul rigorós mostra un valor positiu ($+1.511 \text{ kN}$), indicant que la component vertical de la reacció a $A$ apunta correctament cap a amunt.

Magnitud i direcció de la reacció total:

$$A = \sqrt{(9.993)^2 + (1.511)^2} = 10.11 \text{ kN}, \quad \theta_A = 8.60^\circ$$

(2) Reacció total a A: $\mathbf{A} = 10.11 \text{ kN} \nearrow 8.60^\circ$