📐 Demostració: Des de \(\cos(a+b)\) fins a l'angle meitat
🔹 Punt de partida
Donem per demostrada (geomètricament) la fórmula del cosinus de la suma de dos angles:
\[
\cos(a + b) = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b
\tag{1}
\]
A partir d'aquí, deduirem totes les altres fórmules.
⬇
1️⃣ Obtenció del cosinus de l'angle doble
Fem \(a = b = \alpha\) a la fórmula (1):
\[
\cos(2\alpha) = \cos(\alpha + \alpha) = \cos\alpha \cdot \cos\alpha - \sin\alpha \cdot \sin\alpha
\]
\[
\boxed{\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha}
\tag{2}
\]
Utilitzant la identitat fonamental \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\), obtenim dues formes equivalents:
- Només en cosinus: \(\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha\)
\[
\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - (1 - \cos^2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1
\]
\[
\boxed{\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1}
\tag{3}
\]
- Només en sinus: \(\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha\)
\[
\cos(2\alpha) = (1 - \sin^2\alpha) - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha
\]
\[
\boxed{\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha}
\tag{4}
\]
⬇
2️⃣ Aïllar el sinus i el cosinus al quadrat de l'angle \(\alpha\)
A partir de (3): \(\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1\)
- Sumem 1 a banda i banda:
\[
\cos(2\alpha) + 1 = 2\cos^2\alpha
\]
\[
\boxed{\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}}
\tag{5}
\]
A partir de (4): \(\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha\)
- Restem 1 i multipliquem per -1:
\[
1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2\alpha
\]
\[
\boxed{\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}}
\tag{6}
\]
⬇
3️⃣ Canvi de variable: de \(\alpha\) a \(\theta/2\)
Volem les fórmules de l'angle meitat. Per tant, definim:
\[
\theta = 2\alpha \quad \Rightarrow \quad \alpha = \frac{\theta}{2}
\]
Substituïm \(\alpha = \theta/2\) a les fórmules (5) i (6):
- Cosinus de l'angle meitat:
\[
\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 + \cos\theta}{2}
\]
\[
\boxed{\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}}
\tag{7}
\]
- Sinus de l'angle meitat:
\[
\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos\theta}{2}
\]
\[
\boxed{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}}
\tag{8}
\]
El signe \(\pm\) es determina segons el quadrant on es trobi l'angle \(\theta/2\).
⬇
4️⃣ Tangent de l'angle meitat
Per definició, \(\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin(\theta/2)}{\cos(\theta/2)}\). Utilitzem (7) i (8):
\[
\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}}
\tag{9}
\]
També es pot expressar sense arrels (racionalitzant):
- Multiplicant per \(\frac{1+\cos\theta}{1+\cos\theta}\):
\[
\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}
\tag{10}
\]
- O multiplicant per \(\frac{1-\cos\theta}{1-\cos\theta}\):
\[
\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}
\tag{11}
\]
Les expressions (9), (10) i (11) són totes equivalents (amb les restriccions adequades de domini).
📌 Resum: Fórmules de l'angle meitat
Partint únicament de \(\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\), hem deduït:
Sinus
\[
\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}
\]
Cosinus
\[
\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}
\]
Tangent
\[
\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}}
\]
🔗 Identitat clau usada:
\[
1 + \cos\theta = 2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)
\quad \text{i} \quad
1 - \cos\theta = 2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)
\]
✅ Aquestes fórmules són les que es fan servir per simplificar la resultant de dues forces iguals i en moltes altres aplicacions de física i enginyeria.
Demostració completa i encadenada des de la suma d'angles fins a l'angle meitat.