📐 Demostració + Comparació amb Components \(X\)-\(Y\)

🎯 Objectiu: Demostrar que la fórmula general del teorema del cosinus, \[ R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos\theta}, \] es converteix en \(R = 2F \cos(\theta/2)\) només quan \(F_1 = F_2 = F\), i comprovar-ho numèricament amb el mètode de components \(X\)-\(Y\).

🔹 CAS 1: Forces iguals (\(F_1 = F_2 = 40\,\text{N}\), \(\theta = 60^\circ\))

1️⃣ Exemple numèric (fórmula simplificada)

\(R = 2F \cos(\theta/2)\):

\[ R = 2 \cdot 40 \cdot \cos(30^\circ) = 80 \cdot 0.8660 = \mathbf{69.28\,\text{N}} \]

Direcció: bisectriu (a \(30^\circ\) de cada força).

2️⃣ Demostració matemàtica (cas particular)

Partim de la fórmula general:

\[ R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 \cos\theta} \]

Pas 1: Imposem \(F_1 = F_2 = F\):

\[ R = \sqrt{F^2 + F^2 + 2F^2 \cos\theta} \]

Pas 2: Traiem factor comú \(2F^2\):

\[ R = \sqrt{2F^2 (1 + \cos\theta)} \]

Pas 3: Utilitzem \(1 + \cos\theta = 2\cos^2(\theta/2)\):

\[ R = \sqrt{2F^2 \cdot 2\cos^2(\theta/2)} = \sqrt{4F^2 \cos^2(\theta/2)} \]

Pas 4: Com que \(F>0\) i \(\cos(\theta/2)>0\) per a \(0<\theta<180^\circ\):

\[ \boxed{R = 2F \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)} \]

✅ Queda demostrat que la fórmula simplificada és exactament la general per a forces iguals.

3️⃣ Comparació amb components \(X\)-\(Y\)

Col·loquem \(F_1\) a \(-30^\circ\) i \(F_2\) a \(+30^\circ\) respecte l'eix \(X\). Calculem les projeccions:

Força	\(F_x = F \cos \theta\)	\(F_y = F \sin \theta\)
\(F_1\) (40 N, -30°)	\(40 \cos(-30^\circ) = 34.64\)	\(40 \sin(-30^\circ) = -20.00\)
\(F_2\) (40 N, +30°)	\(40 \cos(30^\circ) = 34.64\)	\(40 \sin(30^\circ) = 20.00\)
Suma	\(R_x = 69.28\)	\(R_y = 0\)

Mòdul: \(R = \sqrt{69.28^2 + 0^2} = \mathbf{69.28\,\text{N}}\)

Direcció: \(\alpha = \arctan(0/69.28) = 0^\circ\) (eix \(X\), que és exactament la bisectriu).

✅ El resultat per components coincideix exactament amb el teorema del cosinus.

📐 Forces iguals amb projeccions sobre els eixos

Línies discontinues: components \(F_x\) i \(F_y\) de cada força

🔸 CAS 2: Forces diferents (\(F_1 = 30\,\text{N}\), \(F_2 = 50\,\text{N}\), \(\theta = 60^\circ\))

📐 Teorema del cosinus

Fórmula general (no es pot simplificar):

\[ R = \sqrt{30^2 + 50^2 + 2\cdot30\cdot50\cdot0.5} = \sqrt{4900} = \mathbf{70\,\text{N}} \]

Direcció (respecte \(F_1\)):

\[ \tan\alpha = \frac{50\cdot0.866}{30+25} = 0.7873 \Rightarrow \alpha \approx \mathbf{38.2^\circ} \]

📊 Comparació per components

\(F_1\) a \(-30^\circ\), \(F_2\) a \(+30^\circ\):

Força	\(F_x\)	\(F_y\)
\(F_1\) (30 N)	\(25.98\)	\(-15.00\)
\(F_2\) (50 N)	\(43.30\)	\(25.00\)
Suma	\(R_x = 69.28\)	\(R_y = 10.00\)

Mòdul: \(R = \sqrt{69.28^2 + 10^2} = \sqrt{4900} = \mathbf{70\,\text{N}}\)

Direcció respecte eix \(X\): \(\alpha_X = \arctan(10/69.28) = 8.2^\circ\)

Com que \(F_1\) està a \(-30^\circ\), l'angle respecte \(F_1\) és \(30^\circ + 8.2^\circ = \mathbf{38.2^\circ}\). ✅

📐 Forces diferents amb projeccions sobre els eixos

La resultant (70 N) es desvia cap a la força més gran (50 N).

📊 Conclusió final

La fórmula general \(R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\theta}\) sempre és vàlida.
Quan \(F_1 = F_2 = F\), es redueix (demostració pas a pas) a \(R = 2F\cos(\theta/2)\).
El mètode de components \(X\)-\(Y\) dóna exactament el mateix resultat en tots dos casos, i és especialment útil quan hi ha 3 o més forces.
Així, veiem que el teorema del cosinus i la descomposició vectorial són equivalents; només canvia el camí de càlcul.

Exemple didàctic amb demostració i comparació visual