Càlcul d'Esforços en una Encavallada de Teulada

📌 Enunciat del Problema

Determineu la força interna a cada barra de l'encavallada de teulada representada a la Figura (a). Indiqueu si les barres estan treballant a tracció (T) o a compressió (C). Les reaccions als suports vénen donades a la figura.

💡 Per què el problema es resol "per parts" (nòdul a nòdul)?

En enginyeria de totes les estructures reticulades, la resolució no es fa d'un sol cop, sinó aïllant cadascuna de les articulacions (nòduls) de manera seqüencial. Aquest mètode s'anomena Mètode dels Nòduls i es fonamenta en les següents raons mecàniques i matemàtiques:

1. Sistema de forces concurrents en 2D: A cada un dels articulats o nòduls, totes les línies d'acció de les forces (tant les càrregues externes com les forces internes de les barres) convergeixen en un mateix punt.
2. Limitació de 2 equacions per nòdul: Per a un sistema de forces coplanars concurrents, l'estàtica només ofereix dues equacions independents d'equilibri: $$\sum F_x = 0 \quad \text{i} \quad \sum F_y = 0$$ Això implica que només podem resoldre un nòdul si té com a màxim 2 barres amb força desconeguda.
3. Estratègia de propagació en cadena: Com que tota l'encavallada té moltes barres (incògnites), és impossible resoldre-ho tot d'un cop sense un sistema d'equacions gegant. En lloc d'això:
   • Busquem un nòdul inicial que tingui només 2 incògnites (com el nòdul $A$, Figura b).
   • Calculem aquestes forces.
   • Aquests valors calculats passen a ser dades conegudes per als nòduls veïns, reduint-ne les incògnites i permetent analitzar el següent nòdul (com el nòdul $G$, Figura c, i posteriorment el nòdul $B$, Figura d).
4. Estalvi per Simetria Estructural: Com s'observa a la Figura (a), tant la geometria com les càrregues aplicades i les reaccions de suport són exactament simètriques respecte a l'eix vertical que passa per $F$ i $B$. Per tant, només cal resoldre la meitat esquerra de l'estructura ($A$, $G$, $B$); la meitat dreta tindrà exactament els mateixos valors.

Pas 1: Anàlisi del Nòdul A

Comencem per l'articulació $A$ perquè només concorren dues barres desconegudes ($F_{AG}$ i $F_{AB}$) i una reacció coneguda de $4\text{ kN}$. El seu Diagrama de Cos Lliure es mostra a la Figura (b).

1. Equilibri de forces verticals ($\sum F_y = 0$):

2. Equilibri de forces horitzontals ($\sum F_x = 0$):

Pas 2: Anàlisi del Nòdul G

Una vegada coneguda $F_{AG} = 8.00\text{ kN}$, passem al nòdul $G$. Si observem la Figura (c), en aquest nòdul hi ha un truc essencial d'enginyeria: inclinar els eixos de coordenades $(x,y)$ de manera que l'eix $x$ quedi paral·lel al cordó superior $AG-GF$. Així s'evita haver de resoldre un sistema d'equacions simultànies.

1. Equilibri perpendicular al cordó inclinat ($\sum F_y = 0$):

2. Equilibri al llarg del cordó inclinat ($\sum F_x = 0$):

Pas 3: Anàlisi del Nòdul B

Amb les forces $F_{AB} = 6.93\text{ kN}$ i $F_{GB} = 3.00\text{ kN}$ ja calculades, aïllem el nòdul $B$ tal com es mostra a la Figura (d) per determinar les barres $F_{BF}$ i $F_{BC}$.

1. Equilibri de forces verticals ($\sum F_y = 0$):

2. Equilibri de forces horitzontals ($\sum F_x = 0$):

🏆 Taula Resum de totes les Barres de l'Estructura

Aprofitant la simetria respecte a l'eix central reflectida a la Figura (a), es resumeixen els resultats complets per a totes les barres de l'encavallada: