Braç de grua – Forces i reaccions

Enunciat: El braç de la grua té un suport de pasador a A. El cilindre hidràulic BC exerceix una força sobre el braç en el punt C en la direcció paral·lela a BC. El braç té una massa de 200 kg i el seu pes es pot considerar actuant a 2 m a la dreta de A. La massa de la caixa suspesa és de 800 kg. El sistema es troba en equilibri.

\( m_{\text{braç}} = 200 \, \text{kg} \) \( m_{\text{caixa}} = 800 \, \text{kg} \) \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \)

Apartat 1 Força exercida pel cilindre hidràulic

Angle del cilindre: A partir de la geometria (component horitzontal \( 1.2 \, \text{m} \) i vertical \( 2.4 \, \text{m} \)):

\theta = \tan^{-1} \! \left( \frac{2.4}{1.2} \right) = 63.43^\circ

Diagrama de cos lliure i equacions d'equilibri:

\sum F_x = A_x + F_H \cos \theta = 0 \] \[ \sum F_y = A_y + F_H \sin \theta - (200 \cdot 9.81) - (800 \cdot 9.81) = 0 \] \[ \sum M_A = F_H \sin \theta \,(3) - F_H \cos \theta \,(1.4) - (200 \cdot 9.81)(2) - (800 \cdot 9.81)(7) = 0

Prenem moments al voltant de A per eliminar \( A_x \) i \( A_y \).

F_H \bigl( \sin \theta \cdot 3 - \cos \theta \cdot 1.4 \bigr) = (200 \cdot 9.81) \cdot 2 + (800 \cdot 9.81) \cdot 7 \] \[ \sin \theta = 0.8944, \quad \cos \theta = 0.4472 \] \[ \sin \theta \cdot 3 - \cos \theta \cdot 1.4 = 0.8944 \cdot 3 - 0.4472 \cdot 1.4 = 2.6832 - 0.6261 = 2.0571 \] \[ \text{Moment degut als pesos: } (200 \cdot 9.81) \cdot 2 + (800 \cdot 9.81) \cdot 7 = 3924 + 54936 = 58860 \, \text{N·m}

F_H = \frac{58860}{2.0571} = 28610 \, \text{N} \approx 28.6 \, \text{kN}

\( F_H = \) \( 28.6 \, \text{kN} \)

✅ Per tant, la força exercida pel cilindre hidràulic sobre el braç és de 28.6 kN.

Apartat 2 Força exercida pel suport A

A partir de les equacions d'equilibri de forces obtenim les components de la reacció al passador A:

A_x = -F_H \cos \theta = -28610 \cdot 0.4472 = -12795 \, \text{N} \approx -12.8 \, \text{kN} \] \[ A_y = (200 + 800) \cdot 9.81 - F_H \sin \theta = 9810 - 28610 \cdot 0.8944 = 9810 - 25590 = -15780 \, \text{N} \approx -15.8 \, \text{kN}

El signe negatiu indica que les components actuen en sentit contrari al suposat inicialment.

Mòdul de la força resultant al suport \( A \):

|\mathbf{A}| = \sqrt{ A_x^2 + A_y^2 } = \sqrt{ (-12.8)^2 + (-15.8)^2 } \, \text{kN} = \sqrt{ 163.84 + 249.64 } \, \text{kN} = \sqrt{413.48} \, \text{kN} = 20.33 \, \text{kN}

\( |\mathbf{A}| = \) \( 20.3 \, \text{kN} \)

\( A_x = \) \( -12.8 \, \text{kN} \)

\( A_y = \) \( -15.8 \, \text{kN} \)

✅ La força exercida pel suport A sobre el braç té una magnitud de 20.3 kN.

💡 Comprovació d'equilibri:
\( F_H \cos \theta = 28610 \cdot 0.4472 = 12795 \, \text{N} \) i \( A_x = -12795 \, \text{N} \) → \( \sum F_x = 0 \)
\( F_H \sin \theta = 28610 \cdot 0.8944 = 25590 \, \text{N} \); pesos totals \( 9810 \, \text{N} \); \( A_y = 9810 - 25590 = -15780 \, \text{N} \) → \( \sum F_y = 0 \)
El moment de \( F_H \) respecte a \( A \) ( \( 28610 \cdot 2.0571 = 58860 \, \text{N·m} \) ) equilibra el moment dels pesos ( \( 58860 \, \text{N·m} \) ).

🏗️ Braç de grua — Equilibri

Apartat 1 Força exercida pel cilindre hidràulic

Apartat 2 Força exercida pel suport A