Resolució d'Estàtica - Problema 5-33

📋 Enunciat del Problema

La grua aixeca una càrrega $L$ de $400\text{ kg}$. La ploma principal $AB$ té una massa d'1.20 Mg ($1200\text{ kg}$) i el seu centre de masses es troba a $G_1$, mentre que la ploma secundària $BC$ té una massa de 0.6 Mg ($600\text{ kg}$) i el seu centre de masses es troba a $G_2$.

Determineu la tensió en el cable $BD$ i les components horitzontal i vertical de la reacció al passador $A$.

Pas 1

Càlcul de les Forces de Pes ($W = m \cdot g$)

Convertim les masses dels tres elements a forces de pes utilitzant l'acceleració de la gravetat $g = 9.81\text{ m/s}^2$:

Pes de la càrrega $L$ ($W_L$): $$W_L = m_L \cdot g = 400\text{ kg} \times 9.81\text{ m/s}^2 = 3924\text{ N} = 3.924\text{ kN}$$
Pes de la ploma principal $AB$ ($W_1$): $$W_1 = m_1 \cdot g = 1200\text{ kg} \times 9.81\text{ m/s}^2 = 11\,772\text{ N} = 11.772\text{ kN}$$
Pes de la ploma secundària $BC$ ($W_2$): $$W_2 = m_2 \cdot g = 600\text{ kg} \times 9.81\text{ m/s}^2 = 5886\text{ N} = 5.886\text{ kN}$$

Pas 2

Geometria i Coordenades Respecte al Punt $A(0,0)$

Situem el punt $A$ com l'origen de coordenades $(0,0)$ per calcular la posició horitzontal ($x$) de cada força i determinar els seus braços de moment respecte a $A$:

Ploma principal $AB$ (inclinació de $45^\circ$ respecte a l'horitzontal):
- Coordenada de $G_1$ (a $8\text{ m}$ al llarg de la ploma): $$x_{G1} = 8 \cdot \cos(45^\circ) = 8 \cdot 0.7071 = 5.6569\text{ m}$$
- Coordenades del punt $B$ (a $16\text{ m}$ al llarg de la ploma): $$x_B = 16 \cdot \cos(45^\circ) = 11.3137\text{ m}$$ $$y_B = 16 \cdot \sin(45^\circ) = 11.3137\text{ m}$$
Ploma secundària $BC$ (inclinació de $30^\circ$ respecte a l'horitzontal):
- Coordenada de $G_2$ (a $3\text{ m}$ des de $B$): $$x_{G2} = x_B + 3 \cdot \cos(30^\circ) = 11.3137 + 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 13.9118\text{ m}$$
- Coordenada del punt $C$ (a $6\text{ m}$ des de $B$): $$x_C = x_B + 6 \cdot \cos(30^\circ) = 11.3137 + 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 16.5099\text{ m}$$

Pas 3

Equilibri de Moments respecte a $A$ ($\sum M_A = 0$)

Prenem moments respecte al passador $A$. Considerem el sentit antihorari com a positiu ($+$):

1. Suma de moments deguts als pesos (sentit horari $\circlearrowright$, negatius):

$$\sum M_{\text{pesos}} = -(W_1 \cdot x_{G1}) - (W_2 \cdot x_{G2}) - (W_L \cdot x_C)$$ $$\sum M_{\text{pesos}} = -(11.772 \cdot 5.6569) - (5.886 \cdot 13.9118) - (3.924 \cdot 16.5099)$$ $$\sum M_{\text{pesos}} = -66.593 - 81.885 - 64.785 = -213.263\text{ kN}\cdot\text{m}$$

2. Moment produït per la tensió del cable $T_{BD}$:

El cable $BD$ estira el punt $B(x_B, y_B)$ cap avall i cap a l'esquerra amb un angle de $35^\circ$ respecte a l'horitzontal:

$F_{BD, x} = -T_{BD} \cos(35^\circ)$ (cap a l'esquerra) $\longrightarrow$ genera moment antihorari ($+$) respecte a $A$: $+F_{BD, x} \cdot y_B$
$F_{BD, y} = -T_{BD} \sin(35^\circ)$ (cap avall) $\longrightarrow$ genera moment horari ($-$) respecte a $A$: $-F_{BD, y} \cdot x_B$

$$M_A(T_{BD}) = T_{BD} \left[ y_B \cdot \cos(35^\circ) - x_B \cdot \sin(35^\circ) \right]$$ Com que $x_B = y_B = 11.3137\text{ m}$: $$M_A(T_{BD}) = T_{BD} \cdot 11.3137 \left[ \cos(35^\circ) - \sin(35^\circ) \right]$$ $$M_A(T_{BD}) = T_{BD} \cdot 11.3137 \left[ 0.81915 - 0.57358 \right] = T_{BD} \cdot 2.7784\text{ m}$$

3. Resolució de l'equació d'equilibri:

$$\sum M_A = 0 \implies T_{BD} \cdot 2.7784\text{ m} - 213.263\text{ kN}\cdot\text{m} = 0$$

      Resultat de la Tensió del Cable:
      $$T_{BD} = \frac{213.263\text{ kN}\cdot\text{m}}{2.7784\text{ m}} \approx \mathbf{76.76\text{ kN}} \quad (76\,758\text{ N})$$
    

Pas 4

Equilibri de Forces i Reaccions al Passador $A$

1. Component horitzontal de la reacció ($A_x$):

$$\sum F_x = 0 \implies A_x - T_{BD} \cos(35^\circ) = 0$$ $$A_x = T_{BD} \cos(35^\circ) = 76.758\text{ kN} \times \cos(35^\circ)$$

$$A_x = 76.758 \times 0.81915 \approx \mathbf{62.88\text{ kN}} \quad (62\,876\text{ N})$$

2. Component vertical de la reacció ($A_y$):

$$\sum F_y = 0 \implies A_y - T_{BD} \sin(35^\circ) - W_1 - W_2 - W_L = 0$$ $$A_y = T_{BD} \sin(35^\circ) + (W_1 + W_2 + W_L)$$ $$A_y = (76.758 \times 0.57358) + (11.772 + 5.886 + 3.924)$$ $$A_y = 44.027\text{ kN} + 21.582\text{ kN}$$

$$A_y \approx \mathbf{65.61\text{ kN}} \quad (65\,609\text{ N})$$

📊 Resum de Resultats Finals

Magnitud	Símbol	Valor (kN)	Valor (N)
Tensió al cable $BD$	$T_{BD}$	76.76 kN	76 758 N
Reacció horitzontal a $A$	$A_x$	62.88 kN	62 876 N
Reacció vertical a $A$	$A_y$	65.61 kN	65 609 N