Estàtica: Moment Màxim d'una Grua (Apartats A i B)

Enunciat

Optimització del Moment del Cable

El cable d'una grua exerceix una força de $P = 6\text{ kN}$ a l'extrem $A$ d'una ploma de $8\text{ m}$ de longitud. La ploma està articulada al punt $O$, situat a $1\text{ m}$ d'alçada respecte al nivell del terra on es fixa el cable al punt $B$.

Apartat A: Si l'angle de la ploma és $\theta = 30^\circ$, determineu la posició $x$ del punt $B$ perquè aquesta força produeixi un moment màxim respecte al punt $O$. Quin és el valor d'aquest moment?
Apartat B: Si la posició del punt $B$ és $x = 10\text{ m}$, determineu l'angle $\theta$ de la ploma perquè aquesta força produeixi un moment màxim respecte al punt $O$. Quin és el valor d'aquest moment?

Fonament Teòric

Condició de Perpendicularitat per a Moment Màxim

El moment d'una força $\vec{P}$ aplicada a l'extrem $A$ respecte al pivot $O$ és:

$$M_O = |\vec{r}_{OA} \times \vec{P}| = r_{OA} \cdot P \cdot \sin(\phi)$$

On $\phi$ és l'angle entre el braç de la grua ($OA$) i el cable ($AB$).

💡 Clau Didàctica

Com que la longitud $r_{OA} = 8\text{ m}$ i la força $P = 6\text{ kN}$ són constants, el moment és MÀXIM quan $\sin(\phi) = 1$, és a dir, quan $\phi = 90^\circ$.
El cable $AB$ ha de ser estrictament perpendicular a la ploma $OA$.

Valor del Moment Màxim (comú per als dos apartats):

$$M_{O,\max} = r_{OA} \cdot P = 8\text{ m} \times 6\text{ kN} = \mathbf{48\text{ kN}\cdot\text{m}}$$

Deducció de l'Equació Geomètrica Característica:

Prenent l'origen al punt $O(0,0)$:

Posició de $A$: $\vec{r}_A = (-8\cos\theta, 8\sin\theta)$
Posició de $B$: $\vec{r}_B = (-x, -1)$
Vector direcció del cable $\vec{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = (8\cos\theta - x, -1 - 8\sin\theta)$

Imposant que $\vec{r}_A \cdot \vec{AB} = 0$ (perpendicularitat):

$$(-8\cos\theta)(8\cos\theta - x) + (8\sin\theta)(-1 - 8\sin\theta) = 0$$ $$-64\cos^2\theta + 8x\cos\theta - 8\sin\theta - 64\sin^2\theta = 0$$ $$8x\cos\theta - 8\sin\theta - 64(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = 0$$

Equació Relacional Base:
$$x \cos\theta - \sin\theta = 8$$

Apartat A

Resolució de l'Apartat A ($\theta = 30^\circ$)

Pas 1: Moment Màxim

$$M_{O,\max} = 8\text{ m} \times 6\text{ kN} = \mathbf{48.0\text{ kN}\cdot\text{m}}$$

Pas 2: Càlcul de la distància $x$

Substituïm $\theta = 30^\circ$ a l'equació relacional $x \cos\theta - \sin\theta = 8$:

$$x \cos(30^\circ) - \sin(30^\circ) = 8$$ $$x \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 0.5 = 8$$ $$x \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 8.5$$ $$x = \frac{8.5 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{17}{\sqrt{3}} \approx \mathbf{9.81\text{ m}}$$

Resultats Apartat A:

• Moment màxim: $M_{O,\max} = \mathbf{48.0\text{ kN}\cdot\text{m}}$

• Posició de $B$: $x = \mathbf{9.81\text{ m}}$

Apartat B

Resolució de l'Apartat B ($x = 10\text{ m}$)

Pas 1: Moment Màxim

$$M_{O,\max} = 8\text{ m} \times 6\text{ kN} = \mathbf{48.0\text{ kN}\cdot\text{m}}$$

Pas 2: Càlcul de l'angle $\theta$

Substituïm $x = 10\text{ m}$ a l'equació relacional $x \cos\theta - \sin\theta = 8$:

$$10 \cos\theta - \sin\theta = 8$$

Resolem mitjançant la transformació $R \cos(\theta + \alpha) = 8$:

$R = \sqrt{10^2 + (-1)^2} = \sqrt{101} \approx 10.0499$
$\alpha = \arctan\left(\frac{1}{10}\right) \approx 5.71^\circ$

$$\sqrt{101} \cos(\theta + 5.71^\circ) = 8$$ $$\cos(\theta + 5.71^\circ) = \frac{8}{\sqrt{101}} \approx 0.7960$$ $$\theta + 5.71^\circ = \arccos(0.7960) \approx 37.25^\circ$$ $$\theta = 37.25^\circ - 5.71^\circ = \mathbf{31.54^\circ} \quad (\text{o } 31.5^\circ)$$

Resultats Apartat B:

• Moment màxim: $M_{O,\max} = \mathbf{48.0\text{ kN}\cdot\text{m}}$

• Angle de la ploma: $\theta = \mathbf{31.54^\circ}$

Resum

Taula Comparativa de Resultats

Apartat	Condició donada	Variable calculada	Moment Màxim ($M_{O,\max}$)
Apartat A	$\theta = 30^\circ$	$x = \mathbf{9.81\text{ m}}$	$\mathbf{48.0\text{ kN}\cdot\text{m}}$
Apartat B	$x = 10\text{ m}$	$\theta = \mathbf{31.54^\circ}$	$\mathbf{48.0\text{ kN}\cdot\text{m}}$