Anàlisi Estàtica d'una Grua Fixa

📌 Enunciat del Problema

Una grua fixa té una massa de $1000\text{ kg}$ i s'utilitza per aixecar una caixa de fusta de $2400\text{ kg}$. La grua està mantinguda en posició mitjançant un perró/articulació al punt $A$ i un patí/rodet al punt $B$. El centre de gravetat de la grua es troba situat al punt $G$.

Objectiu: Determinar les components de les forces de reacció als suports $A$ i $B$.

Dades i cotes geomètriques de l'estructura:

Massa de la grua: $m_{\text{grua}} = 1000\text{ kg}$
Massa de la caixa (càrrega): $m_{\text{caixa}} = 2400\text{ kg}$
Acceleració de la gravetat: $g = 9.81\text{ m/s}^2$
Distància vertical entre el perró $A$ i el patí $B$: $1.5\text{ m}$
Distància horitzontal des de la muralla (línia d'acció de $A$ i $B$) al centre de gravetat $G$: $2\text{ m}$
Distància horitzontal des del centre de gravetat $G$ fins a la línia d'acció de la càrrega: $4\text{ m}$ (Distància total des de la muralla = $2\text{ m} + 4\text{ m} = 6\text{ m}$)

📐 Estratègia i Diagrama de Cos Lliure (DCL)

Per resoldre el problema d'equilibri estàtic, primer convertim les masses en pesos (forces verticals) i analitzem les reaccions de suport:

1. Càlcul de les forces externes (Pesos):

$$W_{\text{grua}} = m_{\text{grua}} \cdot g = (1000\text{ kg})(9.81\text{ m/s}^2) = 9810\text{ N} = 9.81\text{ kN}$$ $$W_{\text{caixa}} = m_{\text{caixa}} \cdot g = (2400\text{ kg})(9.81\text{ m/s}^2) = 23520\text{ N} \approx 23.5\text{ kN}$$

2. Caracterització dels suports:

Patí a $B$: Només pot exercir una força de reacció perpendicular a la superfície de recolzament vertical. Per tant, la reacció $B$ és purament horitzontal. Assumim inicialment que actua cap a la dreta ($\rightarrow$).
Articulació/Perró a $A$: Pot exercir forces en qualsevol direcció. La representem mitjançant les seves dues components ortogonals: $A_x$ (horitzontal) i $A_y$ (vertical). Assumim inicialment que $A_x$ actua cap a la dreta ($\rightarrow$) i $A_y$ cap amunt ($\uparrow$).

⚙️ Resolució Pas a Pas

Pas 1: Determinació de la reacció al patí $B$ ($\sum M_A = 0$)

Apliquem l'equació d'equilibri de moments respecte al punt $A$ prenent el sentit antihorari com a positiu ($\circlearrowleft +$). Les forces $A_x$ i $A_y$ no generen moment respecte a $A$ perquè la seva línia d'acció passa precisament per aquest punt:

$$\sum M_A = 0 \implies B(1.5\text{ m}) - (9.81\text{ kN})(2\text{ m}) - (23.5\text{ kN})(6\text{ m}) = 0$$ $$1.5 B - 19.62 - 141 = 0$$ $$1.5 B = 160.62 \implies B = \frac{160.62}{1.5} = \mathbf{107.08\text{ kN}} \approx \mathbf{107.1\text{ kN}}$$

Com que el resultat és positiu, el sentit de la reacció $B$ és efectivament cap a la dreta: $\mathbf{B = 107.1\text{ kN} \rightarrow}$.

Pas 2: Determinació de la component horitzontal $A_x$ ($\sum F_x = 0$)

Avaluem l'equilibri de forces en l'eix horitzontal ($\rightarrow +$):

$$\sum F_x = 0 \implies A_x + B = 0$$ $$A_x + 107.1\text{ kN} = 0 \implies A_x = \mathbf{-107.1\text{ kN}}$$

El signe negatiu indica que el sentit real de $A_x$ és oposat al que havíem après inicialment. Per tant: $\mathbf{A_x = 107.1\text{ kN} \leftarrow}$.

Pas 3: Determinació de la component vertical $A_y$ ($\sum F_y = 0$)

Avaluem l'equilibri de forces en l'eix vertical ($\uparrow +$):

$$\sum F_y = 0 \implies A_y - 9.81\text{ kN} - 23.5\text{ kN} = 0$$ $$A_y - 33.31\text{ kN} = 0 \implies A_y = \mathbf{+33.3\text{ kN}} \quad \left(\uparrow\right)$$

Pas 4: Reacció total resultant al punt $A$

Combinem vectorialment les dues components $A_x$ i $A_y$ per obtenir el mòdul i l'angle de la reacció resultant $A$:

$$A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} = \sqrt{(-107.08)^2 + (33.31)^2} = \sqrt{11466.1 + 1109.5} \approx \mathbf{112.2\text{ kN}}$$ $$\theta = \arctan\left(\frac{|A_y|}{|A_x|}\right) = \arctan\left(\frac{33.31}{107.08}\right) \approx \mathbf{17.3^\circ}$$

La reacció a l'articulació $A$ té una magnitud de $112.2\text{ kN}$ apuntant cap amunt i cap a l'esquerra ($\nwarrow$) formant un angle de $17.3^\circ$ respecte a la horitzontal.

✅ Comprovació d'Equilibri de Moments respecte a $B$ ($\sum M_B = 0$):

$$\sum M_B = -(9.81\text{ kN})(2\text{ m}) - (23.5\text{ kN})(6\text{ m}) + A_x(1.5\text{ m})$$ $$\sum M_B = -19.62 - 141 + (107.08)(1.5) = -160.62 + 160.62 = 0 \quad \text{(Correcte!)}$$

🏆 Taula Resum de Resultats

Valors finals calculats per a les reaccions als suports de la grua:

Suport / Punt	Component / Magnitud	Valor	Direcció i Sentit
Patí $B$	Reacció normal ($B$)	$\mathbf{107.1\text{ kN}}$	Horitzontal cap a la dreta ($\rightarrow$)
Articulació $A$	Component horitzontal ($A_x$)	$\mathbf{107.1\text{ kN}}$	Horitzontal cap a l'esquerra ($\leftarrow$)
Articulació $A$	Component vertical ($A_y$)	$\mathbf{33.3\text{ kN}}$	Vertical cap amunt ($\uparrow$)
Articulació $A$	Resultant total ($A$)	$\mathbf{112.2\text{ kN}}$	$\nwarrow 17.3^\circ$ sobre l'horitzontal