Estudi Estàtic d'una Grua Mòbil (MathJax v4.1.3)

📌 Enunciat del Problema Unificat

Una grua mòbil s'utilitza per aixecar una càrrega de fusta de pes $W = 25\text{ kN}$. El pes propi de la ploma $ABC$ és de $3\text{ kN}$ aplicat al seu centre de gravetat, i el pes conjunt del camió amb el conductor és de $50\text{ kN}$ aplicat al seu centre de masses respectiu.

Es demana resoldre didàcticament els dos apartats següents:

Apartat A: Determinar la reacció vertical de suport a cadascuna de les dues rodes davanteres $H$ i a cadascuna de les dues rodes posteriors $K$.
Apartat B: Sabent que la tensió al cable contínuament enrotllat $AEF$ és de $25\text{ kN}$ a tots els seus trams, determinar la tensió a la barra de suport $CD$ i la força de reacció a l'articulació/pas $B$ de la ploma.

Dades i cotes geomètriques de l'estructura:

Càrrega suspensa al ganxo $A$: $W = 25\text{ kN}$.
Pes propi de la ploma: $3\text{ kN}$ aplicat $0.6\text{ m}$ a l'esquerra del pas $B$.
Pes del vehicle i conductor: $50\text{ kN}$ aplicat $0.5\text{ m}$ per davant de l'eix posterior $K$.
Distàncies horitzontals entre eixos i punts d'aplicació:
- Del ganxo $A$ a la vertical del pes de la ploma: $2.0\text{ m}$.
- De la vertical del pes de la ploma a l'eix davanter $H$: $0.9\text{ m}$ (és a dir, $A$ dista $2.9\text{ m}$ de $H$).
- De l'eix davanter $H$ al centre de masses del camió ($50\text{ kN}$): $2.0\text{ m}$.
- Del centre de masses del camió a l'eix posterior $K$: $0.5\text{ m}$ (distància entre eixos $H \to K = 2.5\text{ m}$).
- Cotes directes sobre la ploma $ABC$: des de $B$ fins a $C = 0.4\text{ m}$, i des de $C$ fins al punt d'ancoratge de la barra $CD = 0.3\text{ m}$.

🚜 Apartat A: Reaccions a les Rodes del Vehicle ($H$ i $K$)

Per trobar les reaccions del terra sobre el vehicle, aïllem tot el conjunt (camió + ploma + càrrega) realitzant el Diagrama de Cos Lliure Global:

⚠️ Nota Didàctica Important: Com que el vehicle té 2 rodes a l'eix davanter i 2 rodes a l'eix posterior, les forces de reacció totals de l'eix davanter i posterior seran $2F_H$ i $2F_K$ respectivament. Per tant, la força sobre cada roda individual serà la meitat de la reacció total de l'eix.

Passos de resolució de l'Apartat A:

1. Càlcul de les distàncies respecte a l'eix posterior $K$:

Per aplicar un moment respecte a l'eix posterior $K$, determinem els braços de palanca horitzontals de totes les forces respecte a $K$:

Càrrega $W = 25\text{ kN}$: $0.5\text{ m} + 2.0\text{ m} + 0.9\text{ m} + 2.0\text{ m} = 5.4\text{ m}$
Pes de la ploma ($3\text{ kN}$): $0.5\text{ m} + 2.0\text{ m} + 0.9\text{ m} = 3.4\text{ m}$
Eix davanter ($2F_H$): $0.5\text{ m} + 2.0\text{ m} = 2.5\text{ m}$
Pes del camió ($50\text{ kN}$): $0.5\text{ m}$

2. Equilibri de moments respecte a l'eix posterior $K$ ($\sum M_K = 0$):

Considerem el sentit antihorari com a positiu $\left(\circlearrowleft +\right)$:

$$\sum M_K = 0 \implies (25\text{ kN})(5.4\text{ m}) + (3\text{ kN})(3.4\text{ m}) - 2F_H (2.5\text{ m}) + (50\text{ kN})(0.5\text{ m}) = 0$$ $$135 + 10.2 - 5.0 F_H + 25 = 0$$ $$170.2 = 5.0 F_H \implies 2F_H = 68.08\text{ kN}$$ $$F_H = \frac{68.08}{2} = \mathbf{34.0\text{ kN}} \quad \left(\uparrow \text{a cada roda davantera}\right)$$

3. Equilibri de moments respecte a l'eix davanter $H$ ($\sum M_H = 0$):

Avaluem els moments respecte a l'eix davanter $H$ $\left(\circlearrowleft +\right)$:

Càrrega $W = 25\text{ kN}$: $2.0\text{ m} + 0.9\text{ m} = 2.9\text{ m}$ (sentit antihorari, $+$)
Pes de la ploma ($3\text{ kN}$): $0.9\text{ m}$ (sentit antihorari, $+$)
Pes del camió ($50\text{ kN}$): $2.0\text{ m}$ (sentit horari, $-$)
Eix posterior ($2F_K$): $2.5\text{ m}$ (sentit antihorari, $+$)

$$\sum M_H = 0 \implies (25\text{ kN})(2.9\text{ m}) + (3\text{ kN})(0.9\text{ m}) - (50\text{ kN})(2.0\text{ m}) + 2F_K (2.5\text{ m}) = 0$$ $$72.5 + 2.7 - 100 + 5.0 F_K = 0$$ $$-24.8 + 5.0 F_K = 0 \implies 2F_K = 9.92\text{ kN}$$ $$F_K = \frac{9.92}{2} = \mathbf{4.96\text{ kN}} \quad \left(\uparrow \text{a cada roda posterior}\right)$$

✅ Comprovació d'Equilibri Vertical ($\sum F_y = 0$):

$$\sum F_y = 2F_H + 2F_K - W - P_{\text{ploma}} - P_{\text{camió}} = 68.08 + 9.92 - 25 - 3 - 50 = 78.00 - 78.00 = 0 \quad \text{(Correcte!)}$$

🏗️ Apartat B: Esforços a la Ploma ($T_{CD}$ i Reacció al Pas $B$)

Aïllem la ploma de la grua $ABC$ del conjunt del camió per realitzar el seu Diagrama de Cos Lliure:

💡 Anàlisi del Cable i de les Forces Aplicades a la Ploma:

Al punt extrem $A$, el cable transmet la càrrega vertical de la fusta: $25\text{ kN} \downarrow$.
El pes propi de la ploma ($3\text{ kN} \downarrow$) actua a $0.6\text{ m}$ a l'esquerra de l'articulació $B$.
El cable passa sobre la politja situada al punt $C$ ($0.4\text{ m}$ a la dreta de $B$) i es dirigeix cap al cabrestant $F$, exercint una força cap avall de $25\text{ kN} \downarrow$.
La barra $CD$ està connectada a l'extrem dret ($0.4\text{ m} + 0.3\text{ m} = 0.7\text{ m}$ a la dreta de $B$) exercint una tensió desconeguda $T_{CD} \downarrow$.
A l'articulació $B$, el suport exerceix les components de reacció $B_x$ i $B_y$.

Passos de resolució de l'Apartat B:

1. Càlcul de la tensió a la barra $CD$ ($\sum M_B = 0$):

Apliquem l'equació de moments respecte a l'articulació $B$ $\left(\circlearrowleft +\right)$:

Braç de palanca del ganxo $A$ respecte a $B$: $2.0\text{ m} + 0.6\text{ m} = 2.6\text{ m}$ (antihorari, $+$)
Braç de palanca del pes de la ploma respecte a $B$: $0.6\text{ m}$ (antihorari, $+$)
Braç de palanca del cable a la politja $C$ respecte a $B$: $0.4\text{ m}$ (horari, $-$)
Braç de palanca de la barra $CD$ respecte a $B$: $0.4\text{ m} + 0.3\text{ m} = 0.7\text{ m}$ (horari, $-$)

$$\sum M_B = 0 \implies (25\text{ kN})(2.6\text{ m}) + (3\text{ kN})(0.6\text{ m}) - (25\text{ kN})(0.4\text{ m}) - T_{CD}(0.7\text{ m}) = 0$$ $$65 + 1.8 - 10 - 0.7 \cdot T_{CD} = 0$$ $$56.8 = 0.7 \cdot T_{CD} \implies T_{CD} = \frac{56.8}{0.7} = \mathbf{81.143\text{ kN}} \approx \mathbf{81.1\text{ kN}}$$

2. Càlcul de les components de reacció al pas $B$:

Forces Horitzontals ($\sum F_x = 0$):

Com que totes les forces aplicades sobre la ploma són strictly verticals:

$$\xrightarrow{+} \sum F_x = 0 \implies B_x = \mathbf{0\text{ kN}}$$

Forces Verticals ($\sum F_y = 0$):

Sumem totes les forces verticals que actuen sobre la ploma per trobar $B_y$:

$$+\uparrow \sum F_y = 0 \implies -25\text{ kN} - 3\text{ kN} - 25\text{ kN} - T_{CD} + B_y = 0$$ $$-25 - 3 - 25 - 81.143 + B_y = 0$$ $$-134.143 + B_y = 0 \implies B_y = \mathbf{134.143\text{ kN}} \approx \mathbf{134.1\text{ kN}} \quad \left(\uparrow\right)$$

La força total de reacció al pas $B$ és:

$$\mathbf{B} = \sqrt{B_x^2 + B_y^2} = \sqrt{0^2 + (134.143)^2} = \mathbf{134.1\text{ kN}} \quad \left(\uparrow\right)$$

🏆 Taula Resum de Resultats Generals

Es mostren a continuació tots els resultats obtinguts per als dos apartats de l'estudi:

Apartat	Element d'Estudi	Força / Magnitud	Direcció / Sentit
Apartat A	Cada Roda Davantera ($H$)	$F_H = \mathbf{34.0\text{ kN}}$	Vertical cap amunt ($\uparrow$)
Apartat A	Cada Roda Posterior ($K$)	$F_K = \mathbf{4.96\text{ kN}}$	Vertical cap amunt ($\uparrow$)
Apartat B	Tensió a la Barra $CD$	$T_{CD} = \mathbf{81.1\text{ kN}}$	Tracció / Cap a baix ($\downarrow$)
Apartat B	Reacció al Pas / Articulació $B$	$B = \mathbf{134.1\text{ kN}}$	Vertical cap amunt ($\uparrow$)

Apartat	Element d'Estudi	Força / Magnitud	Direcció / Sentit
Apartat A	Cada Roda Davantera (\(H\))	\(F_H = \mathbf{34.0\text{ kN}}\)	Vertical cap amunt (\(\uparrow\))
Apartat A	Cada Roda Posterior (\(K\))	\(F_K = \mathbf{4.96\text{ kN}}\)	Vertical cap amunt (\(\uparrow\))
Apartat B	Tensió a la Barra \(CD\)	\(T_{CD} = \mathbf{81.1\text{ kN}}\)	Tracció / Cap a baix (\(\downarrow\))
Apartat B	Reacció al Pas / Articulació \(B\)	\(B = \mathbf{134.1\text{ kN}}\)	Vertical cap amunt (\(\uparrow\))

Anàlisi Estàtica Integrada d'una Grua Mòbil

📌 Enunciat del Problema Unificat

🚜 Apartat A: Reaccions a les Rodes del Vehicle (\(H\) i \(K\))

Passos de resolució de l'Apartat A:

1. Càlcul de les distàncies respecte a l'eix posterior \(K\):

2. Equilibri de moments respecte a l'eix posterior \(K\) (\(\sum M_K = 0\)):

3. Equilibri de moments respecte a l'eix davanter \(H\) (\(\sum M_H = 0\)):

✅ Comprovació d'Equilibri Vertical (\(\sum F_y = 0\)):

🏗️ Apartat B: Esforços a la Ploma (\(T_{CD}\) i Reacció al Pas \(B\))

Passos de resolució de l'Apartat B:

1. Càlcul de la tensió a la barra \(CD\) (\(\sum M_B = 0\)):

2. Càlcul de les components de reacció al pas \(B\):

🏆 Taula Resum de Resultats Generals