📌 Enunciat del Problema Unificat
Una grua mòbil s'utilitza per aixecar una càrrega de fusta de pes \(W = 25\text{ kN}\). El pes propi de la ploma \(ABC\) és de \(3\text{ kN}\) aplicat al seu centre de gravetat, i el pes conjunt del camió amb el conductor és de \(50\text{ kN}\) aplicat al seu centre de masses respectiu.
Es demana resoldre didàcticament els dos apartats següents:
- Apartat A: Determinar la reacció vertical de suport a cadascuna de les dues rodes davanteres \(H\) i a cadascuna de les dues rodes posteriors \(K\).
- Apartat B: Sabent que la tensió al cable contínuament enrotllat \(AEF\) és de \(25\text{ kN}\) a tots els seus trams, determinar la tensió a la barra de suport \(CD\) i la força de reacció a l'articulació/pas \(B\) de la ploma.
Dades i cotes geomètriques de l'estructura:
- Càrrega suspensa al ganxo \(A\): \(W = 25\text{ kN}\).
- Pes propi de la ploma: \(3\text{ kN}\) aplicat \(0.6\text{ m}\) a l'esquerra del pas \(B\).
- Pes del vehicle i conductor: \(50\text{ kN}\) aplicat \(0.5\text{ m}\) per davant de l'eix posterior \(K\).
- Distàncies horitzontals entre eixos i punts d'aplicació:
- Del ganxo \(A\) a la vertical del pes de la ploma: \(2.0\text{ m}\).
- De la vertical del pes de la ploma a l'eix davanter \(H\): \(0.9\text{ m}\).
- De l'eix davanter \(H\) al centre de masses del camió: \(2.0\text{ m}\).
- Del centre de masses del camió a l'eix posterior \(K\): \(0.5\text{ m}\).
- Cotes directes sobre la ploma \(ABC\): des de \(B\) fins a \(C = 0.4\text{ m}\), i des de \(C\) fins a \(CD = 0.3\text{ m}\).
🚜 Apartat A: Reaccions a les Rodes (\(H\) i \(K\))
⚠️ Nota: El vehicle té 2 rodes davanteres i 2 posteriors. \(2F_H\) i \(2F_K\) són les reaccions totals per eix.
Moments respecte a \(K\) (\(\sum M_K = 0\)):
$$\sum M_K = 0 \implies (25)(5.4) + (3)(3.4) - 2F_H(2.5) + (50)(0.5) = 0$$
$$135 + 10.2 - 5F_H + 25 = 0$$
$$170.2 = 5F_H \implies 2F_H = 68.08\text{ kN}$$
$$F_H = \mathbf{34.0\text{ kN}} \quad (\uparrow \text{ cada roda davantera})$$
Moments respecte a \(H\) (\(\sum M_H = 0\)):
$$\sum M_H = 0 \implies (25)(2.9) + (3)(0.9) - (50)(2.0) + 2F_K(2.5) = 0$$
$$72.5 + 2.7 - 100 + 5F_K = 0$$
$$-24.8 + 5F_K = 0 \implies 2F_K = 9.92\text{ kN}$$
$$F_K = \mathbf{4.96\text{ kN}} \quad (\uparrow \text{ cada roda posterior})$$
✅ Comprovació vertical:
$$\sum F_y = 68.08 + 9.92 - 25 - 3 - 50 = 0$$
🏗️ Apartat B: Esforços a la Ploma
Tensió a la barra \(CD\) (\(\sum M_B = 0\)):
$$\sum M_B = 0 \implies (25)(2.6) + (3)(0.6) - (25)(0.4) - T_{CD}(0.7) = 0$$
$$65 + 1.8 - 10 - 0.7T_{CD} = 0$$
$$T_{CD} = \mathbf{81.1\text{ kN}}$$
Reaccions a \(B\):
$$\sum F_x = 0 \implies B_x = 0$$
$$\sum F_y = 0 \implies -25 - 3 - 25 - 81.143 + B_y = 0$$
$$B_y = \mathbf{134.1\text{ kN}} \quad (\uparrow)$$
🏆 Resum de Resultats
| Element |
Força |
Direcció |
| Cada roda davantera \(H\) | \(34.0\text{ kN}\) | \(\uparrow\) |
| Cada roda posterior \(K\) | \(4.96\text{ kN}\) | \(\uparrow\) |
| Barra \(CD\) | \(81.1\text{ kN}\) | Tracció \(\downarrow\) |
| Articulació \(B\) | \(134.1\text{ kN}\) | \(\uparrow\) |