Un emprenedor vol construir un gran embassament per sobre del nivell d'un llac. La idea és bombar aigua des del llac fins a l'embassament durant la nit aprofitant que l'energia elèctrica és barata. Posteriorment, durant el dia, es deixarà que l'aigua flueixi des de l'embassament de tornada al llac a través d'una turbina per produir energia elèctrica. L'objectiu és determinar el benefici net anual (ingressos menys costos) que aquest sistema pot generar.
Assumpcions principals:
Nota sobre la notació: S'utilitzarà $P$ per referir-se a la Potència (energia per unitat de temps), i $q_V$ o $q_m$ per als cabals.
L'energia mecànica total de l'aigua a l'embassament superior (respecte al llac inferior) equival a la seva energia potencial. Per tant, la potència ideal ($P_{ideal}$) associada a aquest flux d'aigua, que representa la potència mínima necessària per bombar l'aigua o la potència màxima extraïble per la turbina, es calcula com la variació de l'energia potencial per unitat de temps:
$$ P_{ideal} = q_m \cdot g \cdot \Delta z = (\rho \cdot q_V) \cdot g \cdot \Delta z $$Substituint els valors coneguts i assegurant-nos que les unitats del Sistema Internacional (SI) ens donaran Watts (W):
$$ P_{ideal} = \left(1000 \text{ kg/m}^3\right) \cdot \left(2 \text{ m}^3/\text{s}\right) \cdot \left(9.81 \text{ m/s}^2\right) \cdot (40 \text{ m}) $$ $$ P_{ideal} = 784\,800 \, \frac{\text{kg}\cdot\text{m}^2}{\text{s}^3} = 784\,800 \text{ W} = \mathbf{784.8 \text{ kW}} $$A causa de les ineficiències del motor i de la pròpia bomba, el sistema necessita consumir més energia elèctrica de la que realment transmet a l'aigua en forma d'energia potencial. Així doncs, dividim per l'eficiència global de la bomba:
$$ P_{bomba,el\text{è}ctrica} = \frac{P_{ideal}}{\eta_{bomba}} $$ $$ P_{bomba,el\text{è}ctrica} = \frac{784.8 \text{ kW}}{0.75} = \mathbf{1046.4 \text{ kW}} $$De manera anàloga, quan l'aigua baixa i mou la turbina, no tota l'energia potencial es transforma en electricitat. Les pèrdues fan que haguem de multiplicar la potència ideal per l'eficiència del sistema turbina-generador:
$$ P_{turbina,el\text{è}ctrica} = \eta_{turbina} \cdot P_{ideal} $$ $$ P_{turbina,el\text{è}ctrica} = 0.75 \cdot 784.8 \text{ kW} = \mathbf{588.6 \text{ kW}} $$El sistema opera $10 \text{ hores}$ diàries en cada mode, durant els $365 \text{ dies}$ de l'any. El temps d'operació total anual per cada mode és:
$$ \Delta t_{anual} = 365 \text{ dies} \times 10 \text{ hores/dia} = 3650 \text{ hores/any} $$Cost Anual (Bombar a la nit): Es calcula multiplicant la potència elèctrica de la bomba, pel temps total i pel preu de l'energia a la nit.
$$ \text{Cost} = P_{bomba,el\text{è}ctrica} \cdot \Delta t_{anual} \cdot \text{Preu}_{compra} $$ $$ \text{Cost} = (1046.4 \text{ kW}) \cdot (3650 \text{ h/any}) \cdot (0.05 \text{ €/kWh}) = \mathbf{190,968 \text{ €/any}} $$Ingressos Anuals (Turbinar de dia): Es calcula multiplicant la potència elèctrica generada, pel temps total i pel preu de venda.
$$ \text{Ingressos} = P_{turbina,el\text{è}ctrica} \cdot \Delta t_{anual} \cdot \text{Preu}_{venda} $$ $$ \text{Ingressos} = (588.6 \text{ kW}) \cdot (3650 \text{ h/any}) \cdot (0.12 \text{ €/kWh}) = \mathbf{257,806.8 \text{ €/any}} \approx 257,807 \text{ €/any} $$Benefici Net Anual = Ingressos - Cost
$$ \text{Benefici Net} = 257,807 \text{ €} - 190,968 \text{ €} = \mathbf{66,839 \text{ €/any}} $$El sistema té el potencial de generar uns beneficis nets d'aproximadament 67,000 € anuals simplement aprofitant la diferència de preus de l'electricitat (arbitratge energètic). Tanmateix, la decisió final per tirar endavant aquest projecte dependrà del cost inicial d'inversió (construcció de l'embassament, compra d'equips), la vida útil del sistema, els costos operatius i de manteniment (O&M), així com la taxa d'interès del finançament.