Teorema de Lami

Quan tres forces coplanàries i concurrents estan en equilibri, el teorema de Lami relaciona les seves magnituds amb els angles que formen entre si.

📐 Enunciat del teorema

Si tres forces coplanàries, concurrents (s'apliquen al mateix punt) i en equilibri actuen sobre un cos, aleshores cada força és proporcional al sinus de l'angle comprès entre les altres dues.

\frac{F_1}{\sin \alpha} = \frac{F_2}{\sin \beta} = \frac{F_3}{\sin \gamma}

On:

\(\alpha\) és l'angle entre \(F_2\) i \(F_3\)
\(\beta\) és l'angle entre \(F_1\) i \(F_3\)
\(\gamma\) és l'angle entre \(F_1\) i \(F_2\)

⚠️ Condicions: les tres forces han de ser no paral·leles i els seus vectors han de formar un triangle tancat (equilibri).

1 Exemple pràctic: un pes suspès per dos fils

Tenim un cos de pes \(W = 100\,\text{N}\) penjat del sostre mitjançant dos fils ideals (sense massa). El fil esquerre forma un angle de 30° amb l'horitzontal i el fil dret un angle de 60° amb l'horitzontal. Volem trobar les tensions \(T_1\) i \(T_2\).

2 Diagrama de cos lliure del nus

Aïllem el punt on concorren les tres forces (el nus). Dibuixem els vectors força amb les seves direccions reals:

\(\vec{T}_1\): tensió del fil esquerre (cap amunt i a l'esquerra, 30° sobre l'horitzontal)
\(\vec{T}_2\): tensió del fil dret (cap amunt i a la dreta, 60° sobre l'horitzontal)
\(\vec{W}\): pes (vertical cap avall)

3 Mesurem els angles entre les forces

Apliquem la geometria per trobar els angles que formen les forces entre si, no amb l'horitzontal. Aquests són els angles \(\alpha, \beta, \gamma\) del teorema.

Angle entre \(\vec{T}_1\) i \(\vec{T}_2\) (\(\gamma\)): les direccions formen \(30^\circ + 60^\circ = 90^\circ\).
➔ \(\gamma = 90^\circ\).
Angle entre \(\vec{T}_2\) i \(\vec{W}\) (\(\alpha\)): \(\vec{T}_2\) va a \(60^\circ\) per sobre l'horitzontal; \(\vec{W}\) va vertical cap avall (\(270^\circ\) o \(-90^\circ\)). L'angle més petit entre les línies és \(150^\circ\).
➔ \(\alpha = 150^\circ\).
Angle entre \(\vec{T}_1\) i \(\vec{W}\) (\(\beta\)): \(\vec{T}_1\) a \(150^\circ\), \(\vec{W}\) a \(270^\circ\); diferència \(120^\circ\).
➔ \(\beta = 120^\circ\).

Comprovació: \(\alpha+\beta+\gamma = 150^\circ+120^\circ+90^\circ = 360^\circ\) (els tres angles al voltant del punt cobreixen tot el cercle).

4 Apliquem el teorema de Lami

Assignem les forces: \(F_1 = T_1\), \(F_2 = T_2\), \(F_3 = W\). Llavors:

\frac{T_1}{\sin \alpha} = \frac{T_2}{\sin \beta} = \frac{W}{\sin \gamma}

Substituïm els angles: \(\alpha = 150^\circ\), \(\beta = 120^\circ\), \(\gamma = 90^\circ\).

\frac{T_1}{\sin 150^\circ} = \frac{T_2}{\sin 120^\circ} = \frac{100}{\sin 90^\circ}

Recordem els valors exactes:

\(\sin 150^\circ = \sin(180^\circ-30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)
\(\sin 120^\circ = \sin(180^\circ-60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\sin 90^\circ = 1\)

Per tant:

\frac{T_1}{1/2} = \frac{T_2}{\sqrt{3}/2} = \frac{100}{1}

D'on obtenim directament:

2T_1 = 100 \;\Longrightarrow\; T_1 = 50\,\text{N} \] \[ \frac{2T_2}{\sqrt{3}} = 100 \;\Longrightarrow\; T_2 = 50\sqrt{3} \approx 86.6\,\text{N}

✅ Resultat: \(T_1 = 50\,\text{N}\), \(T_2 \approx 86.6\,\text{N}\).

🔁 Resum visual del procés

✨ El teorema de Lami transforma un problema d'equilibri en una simple proporció de sinus.