🧳 Portaequipatges — Equilibri i disseny

Context: Un portaequipatges està articulat al voltant d’una roda (punt \( C \)). L’equipatge de pes \( W \) actua en un punt amb coordenades \((a, b)\) respecte del centre de la roda. L’usuari aplica una força \( F \) amb un angle \( \alpha \) respecte a l’horitzontal, a una distància \( d \) del centre. L’objectiu és trobar relacions entre \( F, W, a, b, d, \alpha \) i la reacció normal \( N \).

1 Deducció de la fórmula general

Pas 1: Diagrama de cos lliure del portaequipatges. Forces que actuen:

Pes de l’equipatge \( W \), vertical cap avall, aplicat a \((a, b)\).
Força de l’usuari \( F \), amb angle \( \alpha \) respecte a l’horitzontal, aplicada a una distància \( d \) del centre de la roda.
Reacció normal \( N \) al punt de contacte (no genera moment al centre \( C \)).

Pas 2: Prenem moments al voltant del centre de la roda \( C \). Les forces que passen per \( C \) tenen moment nul.

Pas 3: En el model habitual, el moment degut a \( F \) és \( d \, F \cos \alpha \) (sentit antihorari). El moment degut a \( W \) es calcula descomponent el pes en les direccions adequades; el resultat és \( a W \sin \alpha - b W \cos \alpha \) (considerant el signe adequat).

\sum M_C = d F \cos \alpha + a W \sin \alpha - b W \cos \alpha = 0

Pas 4: Aïllem \( F \):

F = \frac{(b - a \tan \alpha) \, W}{d}

Pas 5: Equilibri de forces verticals (\( N - W + F = 0 \)):

\[ N = W - F \]

Fórmules generals (SI)

\( F = \dfrac{(b - a \tan \alpha) \, W}{d} \)

\( N = W - F \)

✅ Interpretació: Aquestes expressions relacionen la força necessària amb la geometria del portaequipatges i el pes de l’equipatge. Són la base per als casos pràctics que segueixen.

2 Cas pràctic 1: Determinació de \( F \) i \( N \)

Dades: \( \alpha = 40^\circ \), \( d = 1{,}00 \, \text{m} \), \( a = 0{,}200 \, \text{m} \), \( b = 0{,}500 \, \text{m} \), massa de l’equipatge \( m = 40{,}0 \, \text{kg} \). Determineu \( F \) i \( N \).

Pas 1: Calculem el pes de l’equipatge:

W = m g = 40{,}0 \cdot 9{,}81 = 392{,}4 \, \text{N}

Pas 2: Calculem \( \tan \alpha \):

\tan 40^\circ = 0{,}8391

Pas 3: Apliquem la fórmula per a \( F \):

F = \frac{(b - a \tan \alpha) \, W}{d} = \frac{(0{,}500 - 0{,}200 \cdot 0{,}8391) \cdot 392{,}4}{1{,}00} = \frac{(0{,}500 - 0{,}1678) \cdot 392{,}4}{1} \] \[ F = 0{,}3322 \cdot 392{,}4 = 130{,}35 \, \text{N}

Pas 4: Calculem \( N \):

N = W - F = 392{,}4 - 130{,}35 = 262{,}05 \, \text{N} \approx 262{,}1 \, \text{N}

\( F = \) \( 130{,}35 \, \text{N} \)

\( N = \) \( 262{,}1 \, \text{N} \)

💡 Interpretació: L’usuari ha de fer una força de 130 N per equilibrar l’equipatge de 40 kg. La reacció normal al suport és de 262 N, que és la diferència entre el pes i la força de l’usuari.

3 Cas pràctic 2: Pes màxim per a una força límit

Dades: \( \alpha = 35^\circ \), \( d = 1{,}168 \, \text{m} \) (46 in), \( a = 0{,}254 \, \text{m} \) (10 in), \( b = 0{,}356 \, \text{m} \) (14 in). Es vol que la força \( F \) no superi els \( 88{,}96 \, \text{N} \) (20 lb). Quin és el pes màxim de l’equipatge?

(Conversió: 1 in = 0,0254 m; 1 lb = 4,44822 N)

Pas 1: Aïllem \( W \) de la fórmula general:

W = \frac{F \, d}{b - a \tan \alpha}

Pas 2: Calculem \( \tan 35^\circ \):

\tan 35^\circ = 0{,}7002

Pas 3: Calculem el denominador:

b - a \tan \alpha = 0{,}356 - 0{,}254 \cdot 0{,}7002 = 0{,}356 - 0{,}1778 = 0{,}1782 \, \text{m}

Pas 4: Substituïm \( F = 88{,}96 \, \text{N} \) i \( d = 1{,}168 \, \text{m} \):

W = \frac{88{,}96 \cdot 1{,}168}{0{,}1782} = \frac{103{,}90}{0{,}1782} \approx 583{,}0 \, \text{N}

Per tant, la massa màxima de l’equipatge és:

m = \frac{W}{g} = \frac{583{,}0}{9{,}81} \approx 59{,}43 \, \text{kg}

Pes màxim \( W_{\text{màx}} = \) \( 583 \, \text{N} \)

Massa màxima \( m_{\text{màx}} = \) \( 59{,}4 \, \text{kg} \)

🔍 Observació: Amb una força límit de 88,96 N (20 lb), l’equipatge pot pesar fins a 583 N, equivalent a una massa de 59,4 kg. Aquesta dada és clau per a l’ergonomia del producte.

4 Cas pràctic 3: Força màxima per a qualsevol col·locació

Dades: \( \alpha = 30^\circ \), \( c = 0{,}356 \, \text{m} \) (14 in), \( d = 1{,}219 \, \text{m} \) (48 in), \( R = 0{,}0762 \, \text{m} \) (3 in). L’equipatge pesa \( W = 356 \, \text{N} \) (80 lb). El punt d’aplicació del pes pot estar en qualsevol lloc dins de l’envoltant: \( R \le a \le 0{,}75c \) i \( 0 \le b \le 0{,}75d \). Determineu la força màxima \( F \) que haurà de fer l’usuari.

Pas 1: La força ve donada per:

F = \frac{(b - a \tan \alpha) \, W}{d}

Pas 2: Per maximitzar \( F \), cal maximitzar \( b \) i minimitzar \( a \) (ja que \( \tan \alpha > 0 \)).

\( b_{\text{màx}} = 0{,}75 \, d = 0{,}75 \cdot 1{,}219 = 0{,}914 \, \text{m} \)
\( a_{\text{mín}} = R = 0{,}0762 \, \text{m} \)

Pas 3: Calculem \( \tan 30^\circ = 0{,}57735 \).

Pas 4: Substituïm:

F_{\text{màx}} = \frac{(0{,}914 - 0{,}0762 \cdot 0{,}57735) \cdot 356}{1{,}219} = \frac{(0{,}914 - 0{,}0440) \cdot 356}{1{,}219} \] \[ = \frac{0{,}8700 \cdot 356}{1{,}219} = \frac{309{,}72}{1{,}219} \approx 254{,}1 \, \text{N}

\( F_{\text{màx}} = \) \( 254 \, \text{N} \)

⚠️ Consideració de disseny: La força màxima que l’usuari haurà de fer és de 254 N, que es produeix quan l’equipatge es col·loca a la part més allunyada (màxim \( b \)) i a la posició més propera al centre (mínim \( a \)). Aquest valor és crític per a l’ergonomia del producte.

✅ Comprovació: Amb \( a = 0{,}0762 \, \text{m} \) i \( b = 0{,}914 \, \text{m} \), \( b - a\tan\alpha = 0{,}914 - 0{,}0762 \cdot 0{,}57735 = 0{,}8700 \). Multiplicant per \( W/d = 356 / 1{,}219 = 292{,}0 \) obtenim \( 0{,}8700 \cdot 292{,}0 = 254{,}0 \, \text{N} \), que coincideix.