✂️ Tisores de Podar — Palanca Composta

Resolució completa amb Unitats del Sistema Internacional (SI)

📐 Enunciat

Les tisores de podar de palanca composta es poden ajustar col·locant el passador \(A\) en diverses posicions d'un trinquet a la fulla \(ACE\). Sabent que es requereix una força vertical de 1334.4 N (equivalent a 300 lb) a la fulla superior per tallar la branca, determineu la magnitud \(P\) de les forces que s'han d'aplicar a les nanses.

📏 Dades en Unitats SI

Conversió directa de les dimensions del diagrama (polzades → metres):

Força de tall \(F_E\) = 1334.4 N \(AB\) horitzontal = 0.01651 m \(AB\) vertical = 0.01397 m \(C \to A\) horitzontal = 0.03556 m \(C \to A\) vertical = 0.01270 m \(C \to E\) horitzontal = 0.04064 m \(D \to B\) horitzontal = 0.01905 m \(D \to B\) vertical = 0.00635 m \(D \to P\) horitzontal = 0.08890 m
f1

🧮 Solució Pas a Pas

1️⃣ Relació de forces al membre \(AB\) (trinquet)

El membre \(AB\) és un element de dues forces, per tant la força es transmet en la direcció del segment \(AB\).

\[ \frac{(F_{AB})_y}{(F_{AB})_x} = \frac{0.01397}{0.01651} = \frac{11}{13} \]

Per tant:

\[ (F_{AB})_y = \frac{11}{13} (F_{AB})_x \quad \text{(Eq. 1)} \]

2️⃣ Equilibri de la fulla superior \(ACE\)

Prenem moments al voltant del pivot \(C\) (sentit antihorari positiu). La força de tall a \(E\) va cap amunt, i les forces de \(AB\) a \(A\) van cap a l'esquerra i cap avall.

\[ \sum M_C = 0 \] \[ -(1334.4 \cdot 0.04064) - (F_{AB})_x(0.01270) - (F_{AB})_y(0.03556) = 0 \]

Substituïm \((F_{AB})_y\) de l'Eq. 1:

\[ -54.234 - 0.01270(F_{AB})_x - \frac{11}{13}(0.03556)(F_{AB})_x = 0 \] \[ -54.234 - 0.01270(F_{AB})_x - 0.03009(F_{AB})_x = 0 \] \[ -54.234 - 0.04279(F_{AB})_x = 0 \] \[ (F_{AB})_x = -\frac{54.234}{0.04279} = -1267.4 \ \text{N} \]

El signe negatiu indica que el sentit suposat era incorrecte. Prenem el valor absolut:

\[ (F_{AB})_x = 1267.4 \ \text{N} \] \[ (F_{AB})_y = \frac{11}{13}(1267.4) = 1072.4 \ \text{N} \]

3️⃣ Equilibri de la nansa inferior

Sobre la nansa inferior, les forces de \(AB\) a \(B\) són les reaccions: \((F_{AB})_x\) cap a la dreta, \((F_{AB})_y\) cap amunt.

Prenem moments al voltant de \(D\) (sentit antihorari positiu):

\[ \sum M_D = 0 \] \[ (1072.4 \cdot 0.01905) - (1267.4 \cdot 0.00635) - P(0.08890) = 0 \] \[ 20.43 - 8.05 - 0.08890P = 0 \] \[ 12.38 - 0.08890P = 0 \] \[ P = \frac{12.38}{0.08890} = 139.2 \ \text{N} \]

✅ Resultat Final

\(P = 139.2 \ \text{N}\)

Força que s'ha d'aplicar a cada nansa.

🔗 Compatibilitat amb la solució original: \(31.3 \text{ lb} \times 4.448 = 139.2 \text{ N}\)   ✅

📊 Resum de Forces en SI

Concepte Força (N)
Força de tall \(F_E\) 1334.4 N
Trinquet \(AB\) — component \(x\) 1267.4 N
Trinquet \(AB\) — component \(y\) 1072.4 N
Força a les nanses \(P\) 139.2 N
🔍 Nota: Totes les dimensions i forces s'han treballat exclusivament en unitats del Sistema Internacional (metres i Newtons). La solució és completament compatible amb el resultat del llibre: \(31.3 \text{ lb} = 139.2 \text{ N}\).