Estructures - Estàtica

Càlcul de Reaccions en un Arc de Cavalló Triarticulat

Anàlisi d'un pòrtic central sotmès a la pressió i succió del vent.

📌 Enunciat del Problema

El lateral de l'edifici representat a la figura està sotmès a una càrrega de vent que genera una pressió normal uniforme de $15\text{ kPa}$ a la cara de ventvent (costat esquerre) i una pressió de succió de $5\text{ kPa}$ a la cara de sotavent (costat dret).

Objectiu: Determinar les components horitzontal i vertical de les reaccions de suport a les articulacions $A$, $B$ i $C$ de l'arc de cavalló central.

f1 f2
Dades geomètriques de la estructura (arc central):
  • Separació entre pòrtics (amplada tributària per a l'arc central): $w_{\text{trib}} = 2\text{ m} + 2\text{ m} = 4\text{ m}$.
  • Alçada de les parets verticals: $h = 3\text{ m}$.
  • Alçada de la coberta inclinada: $h_{\text{rood}} = 3\text{ m}$ (Alçada total $B = 6\text{ m}$).
  • Amplada horitzontal de cada faldó de la coberta: $d = 3\text{ m}$ (Amplada total de la nau = $6\text{ m}$).
f4 f5

Pas 1: Càlcul de les Càrregues Lineals Distribuïdes

Com que la càrrega està uniforme distribuïda, l'arc central suporta la càrrega que actua sobre l'àrea tributària fosca (amplada de $4\text{ m}$):

🌬️ Cara de Ventvent (Pressió)

Pressió normal: $p_1 = 15\text{ kN/m}^2$

$$w_{\text{vent}} = (15\text{ kN/m}^2) \cdot (4\text{ m}) = 60\text{ kN/m}$$

💨 Cara de Sotavent (Succió)

Succió normal: $p_2 = 5\text{ kN/m}^2$

$$w_{\text{sotavent}} = (5\text{ kN/m}^2) \cdot (4\text{ m}) = 20\text{ kN/m}$$

Pas 2: Geometria i Resultants Concentrades Equivalent

Per simplificar els càlculs d'equilibri, substituïm les càrregues distribuïdes per les seves forces puntuals resultants equivalents equivalentes aplicades als punts mitjans de cada tram:

  1. Paret vertical esquerra ($A$): $$F_{w1} = (60\text{ kN/m}) \cdot (3\text{ m}) = 180\text{ kN} \quad (\rightarrow \text{horitzontal, a } y = 1.5\text{ m})$$
  2. Paret vertical dreta ($C$): $$F_{w3} = (20\text{ kN/m}) \cdot (3\text{ m}) = 60\text{ kN} \quad (\rightarrow \text{horitzontal, a } y = 1.5\text{ m})$$
  3. Faldó de la coberta esquerra ($AB$):

    Longitud inclinada del faldó: $L = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} \approx 4.2426\text{ m}$ (Angle $\theta = 45^\circ$).

    $$F_{w2} = (60\text{ kN/m}) \cdot (4.2426\text{ m}) = 254.6\text{ kN} \quad (\searrow \text{perpendicular al faldó, a } 45^\circ)$$

    Components de $F_{w2}$:

    $$F_{w2,x} = 254.6 \cos 45^\circ = 180\text{ kN} \quad (\rightarrow)$$ $$F_{w2,y} = 254.6 \sin 45^\circ = 180\text{ kN} \quad (\downarrow)$$
  4. Faldó de la coberta dreta ($CB$): $$F_{w4} = (20\text{ kN/m}) \cdot (4.2426\text{ m}) = 84.9\text{ kN} \quad (\nearrow \text{perpendicular al faldó, a } 45^\circ)$$

    Components de $F_{w4}$:

    $$F_{w4,x} = 84.9 \cos 45^\circ = 60\text{ kN} \quad (\rightarrow)$$ $$F_{w4,y} = 84.9 \sin 45^\circ = 60\text{ kN} \quad (\uparrow)$$

Pas 3: Equilibri Global de la Structura Completa

Aliquem les equacions d'estàtica al marc global per trobar les reaccions exteriors $C_y$ i $A_y$. Prenem el sentit horari com a moment positiu ($\curvearrowright +$):

1. Moment respecte al suport $A$ ($\sum M_A = 0$):

Totes les forces s'avaluen amb els seus braços de palanca respecte al punt $A(0,0)$:

$$-(180 + 60)(1.5) - (254.6 + 84.9)\cos 45^\circ (4.5) - (254.6 \sin 45^\circ)(1.5) + (84.9 \sin 45^\circ)(4.5) + C_y(6) = 0$$

Simplificant amb les components conegudes:

$$-(240)(1.5) - (240)(4.5) - 180(1.5) + 60(4.5) + 6 C_y = 0$$ $$-360 - 1080 - 270 + 270 + 6 C_y = 0$$ $$-1440 + 6 C_y = 0 \implies C_y = \frac{1440}{6} = \mathbf{240\text{ kN}} \quad (\uparrow)$$

2. Sumatòria de Forces Verticals ($\sum F_y = 0$):

$$-A_y - F_{w2,y} + F_{w4,y} + C_y = 0$$ $$-A_y - 180 + 60 + 240 = 0$$ $$-A_y + 120 = 0 \implies A_y = \mathbf{120\text{ kN}} \quad (\downarrow)$$

Pas 4: Anàlisi del Tram Esquerra (AB)

Per determinar les reaccions a l'articulació central $B$ i la component horitzontal $A_x$, "desmuntem" la línia d'articulació i analitzem el cos lliure de l'element $AB$:

1. Moment respecte a l'articulació $B$ ($\sum M_B = 0$):

Avaluem els moments respecte a la cúspide $B(3, 6)$:

$$-A_x(6) + A_y(3) + F_{w1}(4.5) + F_{w2}(2.12) = 0$$ $$-A_x(6) + 120(3) + 180(4.5) + 254.6(2.12) = 0$$ $$-6 A_x + 360 + 810 + 540 = 0$$ $$-6 A_x + 1710 = 0 \implies A_x = \frac{1710}{6} = \mathbf{285\text{ kN}} \quad (\leftarrow)$$

2. Equilibri d'Forces Horitzontals en $AB$ ($\sum F_x = 0$):

$$-A_x + F_{w1} + F_{w2,x} - B_x = 0$$ $$-285 + 180 + 180 - B_x = 0$$ $$75 - B_x = 0 \implies B_x = \mathbf{75\text{ kN}} \quad (\leftarrow \text{ sobre } AB)$$

3. Equilibri de Forces Verticals en $AB$ ($\sum F_y = 0$):

$$-A_y - F_{w2,y} + B_y = 0$$ $$-120 - 180 + B_y = 0 \implies B_y = \mathbf{300\text{ kN}} \quad (\uparrow \text{ sobre } AB)$$

Pas 5: Anàlisi del Tram Dret (CB) i Verificació

Fem servir l'element $CB$ per trobar la darrera incògnita $C_x$ i verificar la consistència del càlcul:

1. Equilibri Horitzontal en $CB$ ($\sum F_x = 0$):

Per la 3a Llei de Newton, la força $B_x$ sobre l'element $CB$ actua cap a la dreta ($\rightarrow$):

$$-C_x + F_{w3} + F_{w4,x} + B_x = 0$$ $$-C_x + 60 + 84.9 \cos 45^\circ + 75 = 0$$ $$-C_x + 60 + 60 + 75 = 0 \implies C_x = \mathbf{195\text{ kN}} \quad (\leftarrow)$$

✅ Comprovar Equilibri Vertical en $CB$ ($\sum F_y = 0$):

$$-B_y + F_{w4,y} + C_y = -300 + 60 + 240 = 0 \quad \text{(Tot quadrat correctament!)}$$

🏆 Resum de Resultats Finals

A continuació es detallen totes les components de reacció calculades en les 3 articulacions de l'arc:

Articulació Component Horitzontal Component Vertical Sentit / Descripció
$A$ (Base Esquerra) $A_x = 285\text{ kN}$ $A_y = 120\text{ kN}$ $A_x$ cap a l'esquerra ($\leftarrow$), $A_y$ cap a baix ($\downarrow$)
$B$ (Cúspide / Interna) $B_x = 75\text{ kN}$ $B_y = 300\text{ kN}$ Empenta interna entre els dos semi-arcs
$C$ (Base Dreta) $C_x = 195\text{ kN}$ $C_y = 240\text{ kN}$ $C_x$ cap a l'esquerra ($\leftarrow$), $C_y$ cap amunt ($\uparrow$)