Problema d'Estàtica: Remolc i Camioneta

Enunciat General:
Un remolc que pesa $10680 \text{ N}$ s'acobla a una camioneta de $12900 \text{ N}$ mitjançant un enganxament de ròtula a $D$.

Part 1 (Enganxament Estàndard): Determineu (a) les reaccions a cadascuna de les sis rodes quan el conjunt està en repòs, i (b) la càrrega addicional a cada roda de la camioneta a causa del remolc.
Part 2 (Enganxament Compensador): Per obtenir una millor distribució del pes, s'utilitza un enganxament amb barres de ressort. (a) Determineu la tensió $T$ necessària a cadascuna de les cadenes si la càrrega addicional del remolc s'ha de distribuir uniformement entre les quatre rodes de la camioneta. (b) Quines són les reaccions resultants a cada roda?

Dades del Problema (Sistema Internacional)

A partir de la conversió prèvia, treballem amb forces en Newtons (N) i distàncies en metres (m) per simplificar el càlcul de moments.

Pes del remolc ($W_r$): $10680 \text{ N}$
Pes de la camioneta ($W_c$): $12900 \text{ N}$
$d_{A, W_r} = 0,61 \text{ m}$ (D'eix A a càrrega del remolc)
$d_{W_r, D} = 2,74 \text{ m}$ (De càrrega remolc a enganxament D)
$d_{D, B} = 0,91 \text{ m}$ (D'enganxament D a eix posterior B)
$d_{B, W_c} = 1,52 \text{ m}$ (D'eix posterior B a càrrega camioneta)
$d_{W_c, C} = 1,22 \text{ m}$ (De càrrega camioneta a eix frontal C)
Longitud de la barra de ressort = $0,518 \text{ m}$

Nota: Totes les reaccions calculades seran per roda, per la qual cosa dividirem les forces dels eixos per 2 (hi ha 2 rodes per eix: A, B i C).

Part 1: Enganxament Estàndard

1.1. Diagrama de Cos Lliure del Remolc

Fem sumatori de moments respecte a l'eix del remolc ($A$) per trobar la força vertical a l'enganxament ($D$):

$$ \sum M_A = 0 \implies -(W_r \cdot d_{A, W_r}) + D_y \cdot (d_{A, W_r} + d_{W_r, D}) = 0 $$ $$ -(10680 \text{ N} \cdot 0,61 \text{ m}) + D_y \cdot (0,61 \text{ m} + 2,74 \text{ m}) = 0 $$ $$ -6514,8 + D_y \cdot 3,35 = 0 \implies D_y = \frac{6514,8}{3,35} = 1944,7 \text{ N} $$

Ara, fem sumatori de forces verticals per trobar la reacció a les rodes del remolc ($A$):

$$ \sum F_y = 0 \implies 2A - W_r + D_y = 0 $$ $$ 2A - 10680 + 1944,7 = 0 \implies 2A = 8735,3 \text{ N} $$

$$ A = 4367,6 \text{ N} \quad \text{(Reacció a cada roda del remolc)} $$

1.2. Diagrama de Cos Lliure de la Camioneta

L'enganxament aplica una força descendent $D_y = 1944,7 \text{ N}$ sobre la camioneta. Fem sumatori de moments respecte a l'eix posterior ($B$):

$$ \sum M_B = 0 \implies D_y \cdot d_{D, B} - W_c \cdot d_{B, W_c} + 2C \cdot (d_{B, W_c} + d_{W_c, C}) = 0 $$ $$ (1944,7 \cdot 0,91) - (12900 \cdot 1,52) + 2C \cdot (1,52 + 1,22) = 0 $$ $$ 1769,7 - 19608 + 2C \cdot 2,74 = 0 \implies 5,48C = 17838,3 $$

$$ C = 3255,2 \text{ N} \quad \text{(Reacció a cada roda davantera)} $$

Sumatori de forces verticals per trobar l'eix posterior ($B$):

$$ \sum F_y = 0 \implies 2B - D_y - W_c + 2C = 0 $$ $$ 2B - 1944,7 - 12900 + 2(3255,2) = 0 \implies 2B = 14844,7 - 6510,4 = 8334,3 $$

$$ B = 4167,2 \text{ N} \quad \text{(Reacció a cada roda posterior)} $$

1.3. Càrrega Addicional a la Camioneta ($\Delta B$ i $\Delta C$)

Analitzem la camioneta sense el seu propi pes, només amb la força $D_y$ del remolc:

$$ \sum M_B = 0 \implies (1944,7 \cdot 0,91) + 2\Delta C \cdot 2,74 = 0 \implies 5,48\Delta C = -1769,7 $$

$$ \Delta C = -322,9 \text{ N} \quad \text{(El remolc aixeca el davant de la camioneta)} $$

$$ \sum F_y = 0 \implies 2\Delta B - 1944,7 + 2(-322,9) = 0 \implies 2\Delta B = 2590,5 $$

$$ \Delta B = 1295,3 \text{ N} \quad \text{(Pes extra enfonsant la part posterior)} $$

Part 2: Enganxament Compensador

2.1. Distribució Uniforme de Càrrega

L'objectiu és que l'increment de reacció $\Delta$ sigui idèntic a cadascuna de les 4 rodes de la camioneta. Analitzem el sistema complet prenent moments a $A$ (només càrregues externes del remolc i reaccions addicionals):

Distàncies des de $A$:

Fins a $B$: $3,35 \text{ m} + 0,91 \text{ m} = 4,26 \text{ m}$
Fins a $C$: $4,26 \text{ m} + 2,74 \text{ m} = 7,00 \text{ m}$

$$ \sum M_A = 0 \implies -(W_r \cdot 0,61) + 2\Delta(4,26) + 2\Delta(7,00) = 0 $$ $$ -6514,8 + 8,52\Delta + 14,0\Delta = 0 \implies 22,52\Delta = 6514,8 $$

$$ \Delta = 289,3 \text{ N} \quad \text{(Càrrega addicional distribuïda per roda)} $$

Reacció a les rodes del remolc amb l'enganxament compensador:

$$ \sum F_y = 0 \implies 2A - 10680 + 4(289,3) = 0 \implies 2A = 9522,8 $$

$$ A = 4761,4 \text{ N} $$

2.2. Càlcul de la Tensió de la Cadena ($T$)

Aillem la camioneta i prenem moments respecte al punt de l'enganxament $D$. Les reaccions addicionals són $2\Delta$ a l'eix B i $2\Delta$ a l'eix C. La tensió $T$ actua sobre la barra de ressort a $0,518 \text{ m}$ de $D$:

Distàncies des de $D$:

Fins a $C$: $0,91 \text{ m} + 2,74 \text{ m} = 3,65 \text{ m}$
Fins a $B$: $0,91 \text{ m}$

$$ \sum M_D = 0 \implies 2\Delta(d_{D,C}) + 2\Delta(d_{D,B}) - 2T(0,518) = 0 $$ $$ 2(289,3)(3,65) + 2(289,3)(0,91) - 1,036T = 0 $$ $$ 2111,9 + 526,5 = 1,036T \implies 2638,4 = 1,036T $$

$$ T = 2546,7 \text{ N} \quad \text{(Tensió a cada cadena)} $$

2.3. Reaccions Finals a la Camioneta

Primer trobem les reaccions base ($B'$ i $C'$) només pel pes propi de la camioneta ($12900 \text{ N}$ a $1,52 \text{ m}$ de B):

$$ \sum M_B = 0 \implies -(12900 \cdot 1,52) + 2C'(2,74) = 0 \implies 5,48C' = 19608 \implies C' = 3578,1 \text{ N} $$ $$ \sum F_y = 0 \implies 2B' - 12900 + 2(3578,1) = 0 \implies 2B' = 5743,8 \implies B' = 2871,9 \text{ N} $$

Finalment, sumem la càrrega distribuïda $\Delta$ a cada roda:

$$ C = C' + \Delta = 3578,1 + 289,3 = 3867,4 \text{ N} \quad \text{(Rodes Davanteres)} $$ $$ B = B' + \Delta = 2871,9 + 289,3 = 3161,2 \text{ N} \quad \text{(Rodes Posteriors)} $$