Anàlisi Estàtica - Problema 4.69

📌 Enunciat del Problema 4.69

Una caixa de fusta de $50\text{ kg}$ està adossada al sistema de biga i carro de transport mostrat a la figura. Sabent que $a = 1.5\text{ m}$, determineu:

(a) La tensió al cable $CD$.
(b) La força de reacció al suport $B$.

Dades i cotes geomètriques de la instal·lació:

Massa de la caixa: $m = 50\text{ kg}$
Acceleració de la gravetat: $g = 9.81\text{ m/s}^2$
Posició horitzontal de la càrrega des de $B$: $a = 1.5\text{ m}$
Distància vertical entre l'ancoratge $C$ i el punt $D$: $1.4\text{ m}$
Distància vertical entre l'eix de la biga $B$ i l'ancoratge $C$: $0.4\text{ m}$
Angle del cable $CD$ respecte a la vertical: $\theta = 55^\circ$

📐 Estratègia i Diagrama de Cos Lliure (DCL)

Per determinar les incògnites, aïllem el conjunt de la biga $AB$ amb el carro i apliquem les tres equacions fonamentals de l'equilibri estàtic bidimensional ($\sum M = 0$, $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$):

1. Càlcul del Pes de la Càrrega ($W$):

$$W = m \cdot g = (50\text{ kg})(9.81\text{ m/s}^2) = 490.5\text{ N} = 0.4905\text{ kN}$$

2. Anàlisi de les Forces Exteriors:

Pes $W = 490.5\text{ N}$: Actua verticalment cap avall a una distància horitzontal $a = 1.5\text{ m}$ a l'esquerra del suport $B$.
Tensió del cable $T_{CD}$: Tira del punt $C$ cap al punt $D$. Forma un angle de $55^\circ$ amb la vertical.
- Component horitzontal: $T_{CD, x} = T_{CD} \cdot \sin(55^\circ)$ (cap a la dreta, $\rightarrow$)
- Component vertical: $T_{CD, y} = T_{CD} \cdot \cos(55^\circ)$ (cap amunt, $\uparrow$)
Reacció al suport $B$: Representada per les seves components ortogonals $B_x$ i $B_y$.

⚙️ Resolució Pas a Pas

Pas 1: Càlcul de la tensió al cable $CD$ ($\sum M_B = 0$)

Per determinar la tensió $T_{CD}$, prenem moments respecte al suport $B$ per anul·lar les reaccions desconegudes $B_x$ i $B_y$. La línia d'acció del cable $CD$ passa pel punt $D$, el qual es troba a una alçada total respecte de $B$ de:

$$h_{\text{total}} = 1.4\text{ m} + 0.4\text{ m} = 1.8\text{ m}$$

La distància perpendicular (braç de palanca) $d$ des de $B$ fins a la línia d'acció del cable $CD$ ve donada directament per la trigonometria:

$$d = h_{\text{total}} \cdot \sin(55^\circ) = (1.8\text{ m}) \cdot \sin(55^\circ) \approx 1.4745\text{ m}$$

Apliquem l'equació de moments respecte al punt $B$ ($\circlearrowleft +$):

$$\sum M_B = 0 \implies W \cdot a - T_{CD} \cdot d = 0$$ $$(490.5\text{ N})(1.5\text{ m}) - T_{CD}(1.4745\text{ m}) = 0$$ $$735.75\text{ N}\cdot\text{m} = 1.4745 \cdot T_{CD}$$ $$T_{CD} = \frac{735.75}{1.4745} = \mathbf{498.99\text{ N}} \approx \mathbf{499\text{ N}} \quad (\text{o } \mathbf{0.499\text{ kN}})$$

Pas 2: Component horitzontal de la reacció a $B$ ($\sum F_x = 0$)

Avaluem l'equilibri de forces en l'eix horitzontal ($\rightarrow +$):

$$\sum F_x = 0 \implies B_x + T_{CD} \cdot \sin(55^\circ) = 0$$ $$B_x + (498.99\text{ N}) \cdot \sin(55^\circ) = 0$$ $$B_x + 408.75\text{ N} = 0 \implies B_x = \mathbf{-408.8\text{ N}}$$

El signe negatiu indica que la reacció horitzontal a $B$ empeny cap a l'esquerra: $\mathbf{B_x = 408.8\text{ N} \leftarrow}$.

Pas 3: Component vertical de la reacció a $B$ ($\sum F_y = 0$)

Avaluem l'equilibri de forces en l'eix vertical ($\uparrow +$):

$$\sum F_y = 0 \implies B_y + T_{CD} \cdot \cos(55^\circ) - W = 0$$ $$B_y + (498.99\text{ N}) \cdot \cos(55^\circ) - 490.5\text{ N} = 0$$ $$B_y + 286.21\text{ N} - 490.5\text{ N} = 0 \implies B_y = \mathbf{+204.3\text{ N}} \quad \left(\uparrow\right)$$

Pas 4: Magnitude i direcció de la reacció resultant a $B$

Combinem les dues components ortogonals per obtenir el mòdul i l'angle d'inclinació respecte a la horitzontal:

$$B = \sqrt{B_x^2 + B_y^2} = \sqrt{(-408.75)^2 + (204.29)^2} = \sqrt{167076.5 + 41734.4} \approx \mathbf{457\text{ N}}$$ $$\alpha = \arctan\left(\frac{|B_y|}{|B_x|}\right) = \arctan\left(\frac{204.29}{408.75}\right) \approx \mathbf{26.6^\circ}$$

✅ Comprovació d'Equilibri de Moments respecte a $C$ ($\sum M_C = 0$):

Prenem moments respecte a $C$ per verificar la coherència global:

$$\sum M_C = (490.5)(2.00 - 1.5) - B_x(0.4) - B_y(2.00)$$ $$\sum M_C = (490.5)(0.5) - (408.75)(0.4) - (204.29)(2.00) = 245.25 - 163.5 - 408.58 \approx 0 \quad \text{(Correcte!)}$$

🏆 Taula Resum de Resultats

Valors finals calculats per als dos apartats del problema:

Apartat	Magnitud / Element	Valor Calculat	Direcció i Sentit
(a)	Tensió al cable $CD$ ($T_{CD}$)	$\mathbf{499\text{ N}} \quad (0.499\text{ kN})$	Tracció al llarg del cable ($55^\circ$ amb la vertical)
(b)	Component horitzontal de $B$ ($B_x$)	$\mathbf{408.8\text{ N}}$	Cap a l'esquerra ($\leftarrow$)
(b)	Component vertical de $B$ ($B_y$)	$\mathbf{204.3\text{ N}}$	Cap amunt ($\uparrow$)
(b)	Reacció Resultant a $B$ ($\mathbf{B}$)	$\mathbf{457\text{ N}}$	$\nwarrow 26.6^\circ$ sobre la horitzontal cap a l'esquerra