Es considera la part superior d'una torre de transmissió d'energia elèctrica formada per una armadura reticulada plana. L'estructura està dissenyada per suportar els cables elèctrics que pengen dels seus braços volants exteriors. L'anàlisi se centra en la determinació de les forces axials a les barres utilitzant el mètode dels nusos.
El mètode dels nusos es basa en el principi que si tota l'estructura està en equilibri estàtic, cada nus individual també ho ha de fer. Per a qualsevol nus en 2D, les forces que hi concorren han de complir les dues equacions fonamentals d'equilibri d'un sistema de forces concurrents:
$$\sum F_x = 0 \qquad \text{i} \qquad \sum F_y = 0$$Conveni de Signes: Dibuixem les forces axials incògnites sortint del nus.
A l'armadura hi ha tres tipus principals de triangles geomètrics que defineixen les direccions de les forces:
• Base ($dx$): $2.21\text{ m}$
• Alçada ($dy$): $0.60\text{ m}$
• Longitud ($L$): $\sqrt{2.21^2 + 0.60^2} = 2.29\text{ m}$
$$\cos\alpha = \frac{2.21}{2.29}, \quad \sin\alpha = \frac{0.60}{2.29}$$
• Base ($dx$): $2.97\text{ m}$
• Alçada ($dy$): $0.60\text{ m}$
• Longitud ($L$): $\sqrt{2.97^2 + 0.60^2} = 3.03\text{ m}$
$$\cos\gamma = \frac{2.97}{3.03}, \quad \sin\gamma = \frac{0.60}{3.03}$$
• Base ($dx$): $1.60\text{ m}$
• Alçada ($dy$): $1.20\text{ m}$
• Longitud ($L$): $\sqrt{1.60^2 + 1.20^2} = 2.00\text{ m}$ (Triangle 3-4-5)
$$\cos\beta = \frac{4}{5} = 0.8, \quad \sin\beta = \frac{3}{5} = 0.6$$
Forces concurrents: Càrrega externa de $1.2\text{ kN}$ cap avall, força $F_{AB}$ (cap a la dreta i amunt) i força $F_{AC}$ (cap a la dreta i avall).
Degut a la simetria de les direccions respecte a l'eix horitzontal, la component horitzontal de $F_{AB}$ ha de compensar la de $F_{AC}$:
$$\sum F_x = 0 \implies F_{AB} \cdot \left(\frac{2.21}{2.29}\right) - F_{AC} \cdot \left(\frac{2.21}{2.29}\right) = 0 \implies F_{AB} = F_{AC}$$Substituint en l'equilibri vertical $\sum F_y = 0$:
$$F_{AB} \cdot \left(\frac{0.60}{2.29}\right) - F_{AC} \cdot \left(\frac{0.60}{2.29}\right) - 1.2 = 0 \implies 2 \cdot F_{AB} \cdot \left(\frac{0.60}{2.29}\right) = 1.2$$ $$F_{AB} \cdot \left(\frac{1.20}{2.29}\right) = 1.2 \implies F_{AB} = 2.29\text{ kN (Tracció)}$$ $$F_{AC} = 2.29\text{ kN (Compressió)}$$Per simetria directa amb el nus $A$ (càrrega igual de $1.2\text{ kN}$ i mateixa geometria):
$$\frac{F_{DF}}{2.29} = \frac{F_{EF}}{2.29} = \frac{1.2}{1.2} \implies F_{DF} = 2.29\text{ kN (T)}, \quad F_{EF} = 2.29\text{ kN (C)}$$Al nus $D$ hi concorren les barres $BD$ (horitzontal), $DE$ (vertical) i $DF$ (amb inclinació $2.21 : 0.60 : 2.29$). Com que $F_{DF} = 2.29\text{ kN}$ a tracció:
$$\frac{F_{BD}}{2.21} = \frac{F_{DE}}{0.60} = \frac{F_{DF}}{2.29} = \frac{2.29}{2.29} = 1\text{ kN/m}$$ $$F_{BD} = 2.21\text{ kN (T)}, \qquad F_{DE} = 0.60\text{ kN (C)}$$Equilibri Horitzontal ($\sum F_x = 0$):
$$\frac{4}{5} F_{BE} + F_{BD} - \left(\frac{2.21}{2.29}\right) F_{AB} = 0$$ $$\frac{4}{5} F_{BE} + 2.21 - \left(\frac{2.21}{2.29}\right) (2.29) = 0 \implies \frac{4}{5} F_{BE} = 0 \implies F_{BE} = 0$$Equilibri Vertical ($\sum F_y = 0$):
$$-F_{BC} - \frac{3}{5} F_{BE} - \left(\frac{0.60}{2.29}\right) F_{AB} = 0$$ $$-F_{BC} - 0 - \left(\frac{0.60}{2.29}\right) (2.29) = 0 \implies F_{BC} = -0.60\text{ kN} \implies F_{BC} = 0.60\text{ kN (C)}$$Equilibri Horitzontal ($\sum F_x = 0$):
$$F_{CE} + \left(\frac{2.21}{2.29}\right) F_{AC} = 0 \implies F_{CE} + 2.21 = 0 \implies F_{CE} = -2.21\text{ kN} \implies F_{CE} = 2.21\text{ kN (C)}$$Equilibri Vertical ($\sum F_y = 0$):
$$-F_{CH} - F_{BC} - \left(\frac{0.60}{2.29}\right) F_{AC} = 0 \implies -F_{CH} - 0.60 - 0.60 = 0 \implies F_{CH} = -1.20\text{ kN} \implies F_{CH} = 1.20\text{ kN (C)}$$Equilibri Horitzontal ($\sum F_x = 0$):
$$F_{CE} - \left(\frac{2.21}{2.29}\right) F_{EF} - \frac{4}{5} F_{EH} = 0 \implies 2.21 - 2.21 - \frac{4}{5} F_{EH} = 0 \implies F_{EH} = 0$$Equilibri Vertical ($\sum F_y = 0$):
$$-F_{EJ} - F_{DE} - \left(\frac{0.60}{2.29}\right) F_{EF} - \frac{3}{5} F_{EH} = 0 \implies -F_{EJ} - 0.60 - 0.60 - 0 = 0 \implies F_{EJ} = 1.20\text{ kN (C)}$$Nus amb càrrega vertical cap avall de $1.2\text{ kN}$ i dues barres inclinades amb triangle de pendent $2.97 : 0.60 : 3.03$:
$$\frac{F_{GH}}{3.03} = \frac{F_{GI}}{3.03} = \frac{1.2\text{ kN}}{2 \cdot 0.60} = 1.0 \implies F_{GH} = 3.03\text{ kN (T)}, \quad F_{GI} = 3.03\text{ kN (C)}$$Per simetria amb el nus $G$ (càrrega de $1.2\text{ kN}$ a $L$):
$$\frac{F_{JL}}{3.03} = \frac{F_{KL}}{3.03} = \frac{1.2}{1.2} \implies F_{JL} = 3.03\text{ kN (T)}, \quad F_{KL} = 3.03\text{ kN (C)}$$Forces que hi concorren: $F_{EJ} = 1.20\text{ kN (C)}$ des de dalt, $F_{JL} = 3.03\text{ kN (T)}$ des de la dreta, $F_{HJ}$ (horitzontal esquerra) i $F_{JK}$ (vertical avall).
Equilibri Horitzontal ($\sum F_x = 0$):
$$-F_{HJ} + \left(\frac{2.97}{3.03}\right) F_{JL} = 0 \implies -F_{HJ} + \left(\frac{2.97}{3.03}\right)(3.03) = 0 \implies F_{HJ} = 2.97\text{ kN (T)}$$Equilibri Vertical ($\sum F_y = 0$):
$$-F_{JK} - F_{EJ} - \left(\frac{0.60}{3.03}\right) F_{JL} = 0 \implies -F_{JK} - 1.20 - 0.60 = 0 \implies F_{JK} = -1.80\text{ kN} \implies F_{JK} = 1.80\text{ kN (C)}$$Equilibri Horitzontal ($\sum F_x = 0$):
$$\frac{4}{5} F_{HK} + F_{HJ} - \left(\frac{2.97}{3.03}\right) F_{GH} = 0 \implies \frac{4}{5} F_{HK} + 2.97 - 2.97 = 0 \implies F_{HK} = 0$$Equilibri Vertical ($\sum F_y = 0$):
$$-F_{HI} - F_{CH} - \left(\frac{0.60}{3.03}\right) F_{GH} - \frac{3}{5} F_{EH} = 0 \implies -F_{HI} - 1.20 - 0.60 - 0 = 0 \implies F_{HI} = 1.80\text{ kN (C)}$$Equilibri Horitzontal ($\sum F_x = 0$):
$$F_{IK} + \left(\frac{2.97}{3.03}\right) F_{GI} = 0 \implies F_{IK} + 2.97 = 0 \implies F_{IK} = -2.97\text{ kN} \implies F_{IK} = 2.97\text{ kN (C)}$$Equilibri Vertical ($\sum F_y = 0$):
$$-F_{IN} - F_{HI} - \left(\frac{0.60}{3.03}\right) F_{GI} = 0 \implies -F_{IN} - 1.80 - 0.60 = 0 \implies F_{IN} = -2.40\text{ kN} \implies F_{IN} = 2.40\text{ kN (C)}$$Equilibri Horitzontal ($\sum F_x = 0$):
$$-\frac{4}{5} F_{KN} + F_{IK} - \left(\frac{2.97}{3.03}\right) F_{KL} = 0 \implies -\frac{4}{5} F_{KN} + (-2.97) - (-2.97) = 0 \implies F_{KN} = 0$$Equilibri Vertical ($\sum F_y = 0$):
$$-F_{KO} - F_{JK} - \left(\frac{0.60}{3.03}\right) F_{KL} = 0 \implies -F_{KO} - 1.80 - 0.60 = 0 \implies F_{KO} = -2.40\text{ kN} \implies F_{KO} = 2.40\text{ kN (C)}$$Quan la càrrega a $F$ desapareix ($P_F = 0$), es produeix una reacció en cadena de barres de força nul·la:
1. Anàlisi del Nus F: No hi ha cap càrrega externa aplicada a $F$. Hi concorren únicament dues barres no col·lineals ($DF$ i $EF$). Per a mantenir l'equilibri, ambdues forces han de ser zero:
$$F_{DF} = 0, \qquad F_{EF} = 0$$2. Anàlisi del Nus D: Sabent que $F_{DF} = 0$, al nus $D$ concorren la barra horitzontal $BD$ i la vertical $DE$. Com que no hi ha cap altra força aplicada en la direcció de $DE$ ni de $BD$:
$$F_{BD} = 0, \qquad F_{DE} = 0$$Les condicions al nus $A$ no han canviat respecte a l'apartat (a):
$$F_{AB} = 2.29\text{ kN (Tracció)}, \qquad F_{AC} = 2.29\text{ kN (Compressió)}$$Com que $F_{BD} = 0$, la component horitzontal de $F_{AB}$ ha de ser equilibrada íntegrament per la diagonal $BE$:
Equilibri Horitzontal ($\sum F_x = 0$):
$$\frac{4}{5} F_{BE} + 0 - \left(\frac{2.21}{2.29}\right) F_{AB} = 0 \implies \frac{4}{5} F_{BE} - 2.21 = 0$$ $$F_{BE} = \frac{5}{4} \cdot 2.21 = 2.7625\text{ kN} \implies F_{BE} = 2.76\text{ kN (Tracció)}$$Equilibri Vertical ($\sum F_y = 0$):
$$-F_{BC} - \left(\frac{0.60}{2.29}\right) F_{AB} - \frac{3}{5} F_{BE} = 0$$ $$-F_{BC} - 0.60 - \frac{3}{5} (2.7625) = 0 \implies -F_{BC} - 0.60 - 1.6575 = 0$$ $$F_{BC} = -2.2575\text{ kN} \implies F_{BC} = 2.26\text{ kN (Compressió)}$$Equilibri Horitzontal ($\sum F_x = 0$):
$$F_{CE} + \left(\frac{2.21}{2.29}\right) F_{AC} = 0 \implies F_{CE} + 2.21 = 0 \implies F_{CE} = -2.21\text{ kN (C)}$$Equilibri Vertical ($\sum F_y = 0$):
$$-F_{CH} - F_{BC} - \left(\frac{0.60}{2.29}\right) F_{AC} = 0 \implies -F_{CH} - 2.2575 - 0.60 = 0$$ $$F_{CH} = -2.8575\text{ kN} \implies F_{CH} = 2.86\text{ kN (Compressió)}$$Com que $F_{DE} = 0$ i $F_{EF} = 0$:
Equilibri Horitzontal ($\sum F_x = 0$):
$$-\frac{4}{5} F_{EH} - \frac{4}{5} F_{BE} + |F_{CE}| = 0 \implies -\frac{4}{5} F_{EH} - \frac{4}{5}(2.7625) + 2.21 = 0$$ $$-\frac{4}{5} F_{EH} - 2.21 + 2.21 = 0 \implies F_{EH} = 0$$Equilibri Vertical ($\sum F_y = 0$):
$$-F_{EJ} + \frac{3}{5} F_{BE} - \frac{3}{5} F_{EH} = 0 \implies -F_{EJ} + \frac{3}{5}(2.7625) - 0 = 0$$ $$F_{EJ} = +1.6575\text{ kN} \implies F_{EJ} = 1.66\text{ kN (Tracció)}$$A continuació es sintetitzen els resultats obtinguts per a cadascun dels tres apartats analitzats:
| Barra / Element | Apartat (a): Càrrega Simètrica Superior | Apartat (b): Càrrega Simètrica Completa | Apartat (c): Càrrega Asimètrica (Cable Dret Caigut) |
|---|---|---|---|
| AB | 2.29 kN (T) | 2.29 kN (T) | 2.29 kN (T) |
| AC | 2.29 kN (C) | 2.29 kN (C) | 2.29 kN (C) |
| DF | 2.29 kN (T) | 2.29 kN (T) | 0.00 kN |
| EF | 2.29 kN (C) | 2.29 kN (C) | 0.00 kN |
| BD | 2.21 kN (T) | 2.21 kN (T) | 0.00 kN |
| DE | 0.60 kN (C) | 0.60 kN (C) | 0.00 kN |
| BE | 0.00 kN | 0.00 kN | 2.76 kN (T) |
| BC | 0.60 kN (C) | 0.60 kN (C) | 2.26 kN (C) |
| CE | 2.21 kN (C) | 2.21 kN (C) | 2.21 kN (C) |
| CH | 1.20 kN (C) | 1.20 kN (C) | 2.86 kN (C) |
| EH | 0.00 kN | 0.00 kN | 0.00 kN |
| EJ | 1.20 kN (C) | 1.20 kN (C) | 1.66 kN (T) |
| GH / JL | - | 3.03 kN (T) | - |
| GI / KL | - | 3.03 kN (C) | - |
| HJ | - | 2.97 kN (T) | - |
| JK / HI | - | 1.80 kN (C) | - |
| IK | - | 2.97 kN (C) | - |
| IN / KO | - | 2.40 kN (C) | - |
| HK / KN | - | 0.00 kN | - |