📐 Teorema de Varignon (Principi dels moments)

Enunciat: El moment resultant d'un sistema de forces concurrents respecte d'un punt és igual a la suma vectorial dels moments de cada una de les forces components respecte al mateix punt.

És a dir: \( M_O^{\vec{R}} = \sum M_O^{\vec{F}_i} \)

📌 Dades de l'exemple

Considerem una força \(\vec{F}\) aplicada al punt \(A(2, 3)\) metres, amb un mòdul de \(50 \, \text{N}\) i un angle de \(30^\circ\) respecte l'eix \(X\) positiu. Volem calcular el moment respecte a l'origen \(O(0,0)\).

Vector posició: \(\vec{r} = 2\hat{i} + 3\hat{j}\) (m)
Mòdul de la força: \(F = 50 \, \text{N}\)
Angle: \(\theta = 30^\circ\)

🔹 Pas 1: Descompondre la força en components

Calculem les components cartesianes de \(\vec{F}\):

\[ F_x = F \cdot \cos(30^\circ) = 50 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3} \, \text{N} \approx 43.30 \, \text{N} \] \[ F_y = F \cdot \sin(30^\circ) = 50 \cdot \frac{1}{2} = 25 \, \text{N} \]

Per tant, la força expressada vectorialment és: \(\vec{F} = 25\sqrt{3}\,\hat{i} + 25\,\hat{j}\)

🔹 Pas 2: Calcular el moment directe amb la força resultant

El moment d'una força respecte a l'origen es calcula amb el producte vectorial (en 2D, \(M_O = r_x F_y - r_y F_x\)):

\[ M_O^{\vec{F}} = \vec{r} \times \vec{F} = r_x \cdot F_y - r_y \cdot F_x \]

Substituïm els valors:

\[ M_O^{\vec{F}} = (2) \cdot (25) - (3) \cdot (25\sqrt{3}) = 50 - 75\sqrt{3} \]

Calculem el valor numèric: \(75\sqrt{3} \approx 129.904\)

\[ M_O^{\vec{F}} \approx 50 - 129.904 = \mathbf{-79.904 \, \text{N·m}} \]

(El signe negatiu indica que el moment és en sentit horari).

🔹 Pas 3: Calcular el moment de CADA component per separat

Ara apliquem Varignon: calculem el moment que genera la component horitzontal \(F_x\) i la vertical \(F_y\) per separat, i després les sumem.

▶ Moment de \(F_x\) (actua horitzontalment):

La component és \(\vec{F}_x = 25\sqrt{3}\,\hat{i} + 0\,\hat{j}\).

\[ M_O^{\vec{F}_x} = r_x \cdot 0 - r_y \cdot F_x = - (3) \cdot (25\sqrt{3}) = -75\sqrt{3} \approx -129.904 \, \text{N·m} \]

▶ Moment de \(F_y\) (actua verticalment):

La component és \(\vec{F}_y = 0\,\hat{i} + 25\,\hat{j}\).

\[ M_O^{\vec{F}_y} = r_x \cdot F_y - r_y \cdot 0 = (2) \cdot (25) = 50 \, \text{N·m} \]

🔹 Pas 4: Sumar els moments de les components

Segons el teorema de Varignon, la suma ha de donar el moment total:

\[ \sum M_O^{\text{components}} = M_O^{\vec{F}_x} + M_O^{\vec{F}_y} \] \[ \sum M_O^{\text{components}} = (-75\sqrt{3}) + 50 = 50 - 75\sqrt{3} \approx -79.904 \, \text{N·m} \]

✅ Conclusió: Es verifica el Teorema

Comparem els resultats obtinguts:

Moment directe de \(\vec{F}\): \(50 - 75\sqrt{3} \approx -79.904 \, \text{N·m}\)
Suma dels moments de \(F_x\) i \(F_y\): \(50 - 75\sqrt{3} \approx -79.904 \, \text{N·m}\)

🔸 \( M_O^{\vec{F}} = M_O^{\vec{F}_x} + M_O^{\vec{F}_y} \) 🔸

Per tant, queda demostrat que el moment de la resultant és igual a la suma dels moments de les components. Això és molt útil perquè, en problemes reals, sovint és més fàcil calcular el moment de les components (\(F_x\) i \(F_y\)) que calcular la distància perpendicular a la força inclinada.

Exemple didàctic creat amb HTML + MathJax